統計力学の問題

面積 $A$ の 2 次元の箱に閉じ込められた、スピン $0$、質量 $m$ の理想ボース気体が、温度 $T$ の熱浴と粒子だめに接して熱平衡にある（グランドカノニカル分布）。面密度を $n=\frac{N}{A}$（$N$ は粒子数の平均）とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$A$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。粒子はボース分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}-1}$$
に従う（$\mu$ は化学ポテンシャル、$k_B$ はボルツマン定数）。このとき $\mu$ を $n$, $m$, $T$, $\hslash$, $k_B$ を用いて表せ。

質量 $m$ のスピン $0$ のボース粒子 $N$ 個（$N\gg 1$）が、2 次元の等方的な調和ポテンシャル $V(x,y)=\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2)$（$\omega >0$）に閉じ込められている。粒子間の相互作用は無視する。1 粒子のエネルギー準位は、零点エネルギーを基準として $\epsilon =(n_x+n_y)\hslash \omega$（$n_x,n_y=0,1,2,\dots$）である。系は温度 $T$ の熱浴と粒子を交換しない形で熱平衡にあり、大正準分布（ボース分布）で扱う。$k_{B}T\gg \hslash \omega$ の温度域では、励起状態についての和を状態密度を用いた積分で近似してよい。この近似のもとで、基底状態に巨視的な数の粒子が凝縮し始める温度（ボース・アインシュタイン凝縮の転移温度）$T_c$ を、$N,\hslash ,\omega$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。

面積 $A$ の 2 次元結晶膜が温度 $T$ で熱平衡にある。この膜の面に垂直な方向の振動（屈曲振動）は、波数ベクトル $\mathbf{k}$（大きさ $k=|\mathbf{k}|$）のフォノンとして扱え、その分散関係は
$$\omega =\alpha k^2(\alpha >0\text{ は定数})$$
で与えられる。屈曲振動の偏りは 1 種類だけで、膜は十分に大きく、周期的境界条件のもとで $\mathbf{k}$ についての和は積分で近似できるとする。また、温度は十分低く、角振動数の上限（デバイ型のカットオフ）は無限大とみなしてよい。フォノンは化学ポテンシャル $0$ のボース分布に従うとし、零点エネルギーは温度によらないので無視してよい。必要なら
$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$$
を用いよ。屈曲振動による膜の定積熱容量 $C$ を $A$, $T$, $\alpha$, ボルツマン定数 $k_B$, $\hslash$ を用いて表せ。

体積 $V$ の空洞が絶対温度 $T$ の壁に囲まれ、内部の電磁波（光子気体）が熱平衡にある。空洞内の電磁場の基準振動は、波数ベクトル $\mathbf{k}$（周期境界条件）と 2 つの偏光で指定され、角振動数は $\omega =c|\mathbf{k}|$ である（$c$ は光速）。各基準振動をエネルギー準位 $n\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$、零点エネルギーは除く）の量子調和振動子とみなす。$V$ は十分大きく、基準振動についての和は積分で近似してよい。ボルツマン定数を $k_B$、ディラック定数を $\hslash$ とし、必要なら
$${\int }_0^{\infty }{x}^2\log \left(1-e^{-x}\right)dx=-\frac{{\pi }^4}{45}$$
を用いてよい。この光子気体のエントロピー $S$ を $k_B$, $\hslash$, $c$, $V$, $T$ を用いて表せ。

体積 $V$ の立方体の箱に、質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の互いに相互作用しないフェルミ粒子 $N$ 個が閉じ込められている（3 次元の理想フェルミ気体）。数密度を $n=\frac{N}{V}$ とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$V$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。絶対零度におけるこの気体の圧力 $P=-{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_N$（$U$ は基底状態のエネルギー）を $n$, $m$, $\hslash$ を用いて表せ。