統計力学の問題

面積 $A$ の 2 次元の箱に閉じ込められた、スピン $0$、質量 $m$ の理想ボース気体が、温度 $T$ の熱浴と粒子だめに接して熱平衡にある（グランドカノニカル分布）。面密度を $n=\frac{N}{A}$（$N$ は粒子数の平均）とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$A$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。粒子はボース分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}-1}$$
に従う（$\mu$ は化学ポテンシャル、$k_B$ はボルツマン定数）。このとき $\mu$ を $n$, $m$, $T$, $\hslash$, $k_B$ を用いて表せ。

質量 $m$ の原子 $N$ 個（$N\gg 1$）が、ばね定数 $K$ のばねで隣どうしつながれ、平衡位置の間隔 $a$ で直線上に並んだ 1 次元結晶（全長 $L=Na$）を考える。原子は鎖の方向（縦方向）にのみ振動し、周期境界条件を課す。この鎖の格子振動の分散関係は $\omega (k)=2\sqrt{\frac{K}{m}}\left|\sin \frac{ka}{2}\right|$ である。

この格子振動をデバイ模型で扱う。すなわち、分散関係を長波長極限の音速 $c$ を用いた $\omega =c|k|$ で置き換え、基準振動の総数が $N$ になるように波数の大きさに上限 $k_D$（デバイ波数）を設ける。各基準振動は角振動数 $\omega$ の量子調和振動子として扱い、フォノンはボース・アインシュタイン統計（化学ポテンシャル $0$）に従うとする。$\hslash$ はディラック定数、$k_B$ はボルツマン定数である。

温度 $T$ がデバイ温度 ${\Theta }_D=\frac{\hslash c{k}_D}{k_B}$ に比べて十分低い（$T\ll {\Theta }_D$）とき、この鎖の定積熱容量 $C$ を、温度 $T$ について最低次の項まで求め、$N,k_B,T,\hslash ,m,K$ を用いて表せ。必要なら次の積分を用いてよい。
$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$$

体積 $V$ の空洞の内部が、温度 $T$ の壁と熱平衡にある電磁波（光子気体）で満たされている。空洞内の電磁場の基準振動は、波数ベクトル $\mathbf{k}$ ごとに 2 つの独立な偏光をもち、角振動数は $\omega =c|\mathbf{k}|$（$c$ は真空中の光速）である。空洞は十分に大きく、基準振動についての和は周期境界条件のもとで積分に置き換えてよい。光子数は保存せず、光子の化学ポテンシャルは $0$ とする。零点エネルギーは考えない。この光子気体のヘルムホルツの自由エネルギー $F$ を分配関数から求め、それを用いてエントロピー $S$ を、$V,T,\hslash ,c$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。

質量 $m$ のスピン $0$ のボース粒子 $N$ 個（$N\gg 1$）が、2 次元の等方的な調和ポテンシャル $V(x,y)=\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2)$（$\omega >0$）に閉じ込められている。粒子間の相互作用は無視する。1 粒子のエネルギー準位は、零点エネルギーを基準として $\epsilon =(n_x+n_y)\hslash \omega$（$n_x,n_y=0,1,2,\dots$）である。系は温度 $T$ の熱浴と粒子を交換しない形で熱平衡にあり、大正準分布（ボース分布）で扱う。$k_{B}T\gg \hslash \omega$ の温度域では、励起状態についての和を状態密度を用いた積分で近似してよい。この近似のもとで、基底状態に巨視的な数の粒子が凝縮し始める温度（ボース・アインシュタイン凝縮の転移温度）$T_c$ を、$N,\hslash ,\omega$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。

体積 $V$ の箱の中に、質量をもたないスピン $\frac{1}{2}$ のフェルミ粒子が $N$ 個閉じ込められている。各運動量 $\mathbf{p}$ に対してスピン状態は $2$ つある（縮重度 $2$）とする。粒子どうしの相互作用は無視する。1 粒子のエネルギーは運動量の大きさ $p$ を用いて $\epsilon =cp$（$c$ は光速）で与えられる。反粒子の生成は考えない。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、粒子は化学ポテンシャル $\mu$ のフェルミ分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}$$
に従う。数密度を $n=\frac{N}{V}$ とし、$V$ は十分大きく、運動量についての和は（スピンについての和とは別に）積分 $\sum _{\mathbf{p}}\to \frac{V}{(2\pi \hslash {)}^3}\int d^{3}p$ で置き換えてよい（$\hslash$ はディラック定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

温度が十分低く $k_{B}T$ がフェルミエネルギーに比べて十分小さいとき、なめらかな関数 $\varphi (\epsilon )$（$\varphi (0)=0$）に対するゾンマーフェルト展開
$${\int }_0^{\infty }\varphi (\epsilon )f(\epsilon )d\epsilon ={\int }_0^{\mu }\varphi (\epsilon )d\epsilon +\frac{{\pi }^2}{6}(k_{B}T{)}^2{\varphi }^{\prime }(\mu )+\cdots$$
を用いてよい。化学ポテンシャル $\mu$ を、$T$ の 2 次までの精度で $n,T,\hslash ,c,k_B$ を用いて表せ。