統計力学の問題

$N$ 個の原子が長さ $L$ の直線上に並んだ 1 次元結晶を考える。原子は直線方向（縦方向）にのみ振動し、格子振動の基準振動（フォノン）の角振動数 $\omega$ と波数 $k$ の関係は $\omega =v|k|$（$v$ は音速で一定）とする。周期境界条件を課し、$N\gg 1$ で波数についての和は積分で近似してよい。デバイ模型にならい、基準振動の総数が $N$ に等しくなるように角振動数の上限（デバイ角振動数）${\omega }_D$ を定め、デバイ温度を ${\theta }_D=\frac{\hslash {\omega }_D}{k_B}$ とする（$k_B$ はボルツマン定数）。温度 $T$ が $T\ll {\theta }_D$ を満たすとき、この結晶の格子振動による熱容量の主要項を、$N,k_B,T,{\theta }_D$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。

面積 $A$ の 2 次元結晶膜が温度 $T$ で熱平衡にある。この膜の面に垂直な方向の振動（屈曲振動）は、波数ベクトル $\mathbf{k}$（大きさ $k=|\mathbf{k}|$）のフォノンとして扱え、その分散関係は
$$\omega =\alpha k^2(\alpha >0\text{ は定数})$$
で与えられる。屈曲振動の偏りは 1 種類だけで、膜は十分に大きく、周期的境界条件のもとで $\mathbf{k}$ についての和は積分で近似できるとする。また、温度は十分低く、角振動数の上限（デバイ型のカットオフ）は無限大とみなしてよい。フォノンは化学ポテンシャル $0$ のボース分布に従うとし、零点エネルギーは温度によらないので無視してよい。必要なら
$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$$
を用いよ。屈曲振動による膜の定積熱容量 $C$ を $A$, $T$, $\alpha$, ボルツマン定数 $k_B$, $\hslash$ を用いて表せ。

体積 $V$ の箱の中に、質量をもたないスピン $\frac{1}{2}$ のフェルミ粒子が $N$ 個閉じ込められている。各運動量 $\mathbf{p}$ に対してスピン状態は $2$ つある（縮重度 $2$）とする。粒子どうしの相互作用は無視する。1 粒子のエネルギーは運動量の大きさ $p$ を用いて $\epsilon =cp$（$c$ は光速）で与えられる。反粒子の生成は考えない。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、粒子は化学ポテンシャル $\mu$ のフェルミ分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}$$
に従う。数密度を $n=\frac{N}{V}$ とし、$V$ は十分大きく、運動量についての和は（スピンについての和とは別に）積分 $\sum _{\mathbf{p}}\to \frac{V}{(2\pi \hslash {)}^3}\int d^{3}p$ で置き換えてよい（$\hslash$ はディラック定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

温度が十分低く $k_{B}T$ がフェルミエネルギーに比べて十分小さいとき、なめらかな関数 $\varphi (\epsilon )$（$\varphi (0)=0$）に対するゾンマーフェルト展開
$${\int }_0^{\infty }\varphi (\epsilon )f(\epsilon )d\epsilon ={\int }_0^{\mu }\varphi (\epsilon )d\epsilon +\frac{{\pi }^2}{6}(k_{B}T{)}^2{\varphi }^{\prime }(\mu )+\cdots$$
を用いてよい。化学ポテンシャル $\mu$ を、$T$ の 2 次までの精度で $n,T,\hslash ,c,k_B$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（角振動数はすべて $\omega$）からなる孤立系（アインシュタイン模型）を考える。各振動子のエネルギー準位は $\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega (n=0,1,2,\dots )$ である。系の全エネルギーが、零点エネルギーを含めて $E=\frac{5}{2}N\hslash \omega$ に固定されているとき、ミクロカノニカル分布にもとづいてこの系の温度 $T$ を求めよ。ただし、$N$ は十分大きく、状態数の計算に現れる階乗にはスターリングの近似 $\log n!\approx n\log n-n$ を使ってよい（$N$ に比べて $1$ は無視してよい）。エントロピーは $S=k_B\log W$（$W$ は状態数、$k_B$ はボルツマン定数）、温度は $\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ で定める。$T$ を $\hslash$, $\omega$, $k_B$ を用いて表せ。

面積 $A$ の 2 次元の箱に閉じ込められた、スピン $0$、質量 $m$ の理想ボース気体が、温度 $T$ の熱浴と粒子だめに接して熱平衡にある（グランドカノニカル分布）。面密度を $n=\frac{N}{A}$（$N$ は粒子数の平均）とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$A$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。粒子はボース分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}-1}$$
に従う（$\mu$ は化学ポテンシャル、$k_B$ はボルツマン定数）。このとき $\mu$ を $n$, $m$, $T$, $\hslash$, $k_B$ を用いて表せ。