統計力学

互いに区別できる $N$ 個の粒子からなる孤立系を考える。各粒子はエネルギー $0$ の状態とエネルギー $\epsilon$（$\epsilon >0$）の状態の 2 つだけをとることができ、粒子間の相互作用は無視できる。系の全エネルギーが $E=\frac{N\epsilon }{5}$ であるときの系の温度 $T$ を、$\epsilon$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。

ただし、エネルギー $\epsilon$ の状態にある粒子の数を $M$ とし、$N$, $M$, $N-M$ は十分大きく、スターリングの公式 $\log n!\approx n\log n-n$ が使えるものとする。エントロピーは $S=k_B\log W$（$W$ は全エネルギーが $E$ である微視的状態の数）、温度は $\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ で定める。$\log$ は自然対数とする。

互いに区別できる $N$ 個の粒子からなる系が、絶対温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各粒子はほかの粒子と相互作用せず（独立）、それぞれエネルギーが $0$ と $\epsilon$（$\epsilon >0$）の 2 つの状態のどちらかをとる。ボルツマン定数を $k_B$ とし、$\beta =\frac{1}{k_{B}T}$ とおく。この系の平均エネルギー $⟨E⟩$ を $N$, $\epsilon$, $\beta$ を用いて表せ。

スピンをもたないフェルミ粒子が入ることのできる 1 粒子準位が 2 つだけあり、そのエネルギーは $0$ と $\epsilon$（$\epsilon >0$）で、どちらも縮退していない。粒子どうしは相互作用しない。この系が絶対温度 $T$（$T>0$）、化学ポテンシャル $\mu$ の粒子浴と接して平衡にあり（大正準分布）、全粒子数の平均値がちょうど $1$ であるとする。ボルツマン定数を $k_B$、$\beta =\frac{1}{k_{B}T}$ とする。このときの化学ポテンシャル $\mu$ を $\epsilon$ を用いて表せ。

互いに区別できる $N$ 個の粒子からなる系が、絶対温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各粒子はほかの粒子と相互作用せず（独立）、エネルギー $0$ の準位（縮退なし）と、エネルギー $\epsilon$（$\epsilon >0$）で縮退度 $2$ の準位をもつ。つまり、1 粒子の状態はエネルギー $0$ の状態が 1 つ、エネルギー $\epsilon$ の状態が 2 つの合計 3 つである。ボルツマン定数を $k_B$ とする。温度が $T=\frac{\epsilon }{k_B\log 2}$ のときの、この系の熱容量 $C=\frac{\partial ⟨E⟩}{\partial T}$ を $N$, $k_B$ を用いて表せ。

角振動数 $\omega$ の 1 次元量子調和振動子 $N$ 個からなる系が、絶対温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各振動子のエネルギー準位は $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$、縮退なし）であり、振動子どうしは区別でき、相互作用しない（独立）。ボルツマン定数を $k_B$、ディラック定数を $\hslash$ とする。温度が $T=\frac{\hslash \omega }{k_B\log 3}$ のときの、系全体の平均エネルギー $⟨E⟩$ を $N$, $\hslash$, $\omega$ を用いて表せ。

質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる理想気体が、断面積 $A$ の鉛直な円筒容器に入っている。容器の底面は高さ $z=0$ にあり、容器は上方へ無限に長いとみなす。気体は一様な重力場（重力加速度の大きさ $g$）の中にあり、絶対温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。1 分子のハミルトニアンは
$$H=\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}+mgz(z\ge 0)$$
であり、分子どうしの相互作用は無視する。古典統計で扱い、分配関数を
$$Z=\frac{1}{N!h^{3N}}\int e^{-\beta H_{\text{total}}}{d}^{3N}q{d}^{3N}p\left(\beta =\frac{1}{k_{B}T}\right)$$
とする。ここで $h$ はプランク定数、$k_B$ はボルツマン定数、$H_{\text{total}}$ は $N$ 分子のハミルトニアンの和である。この気体の熱容量 $C=\frac{\partial ⟨E⟩}{\partial T}$ を $N$, $k_B$ を用いて表せ。

スピンをもたない $N$ 個の同種ボース粒子が、2 次元の等方的な調和ポテンシャル（角振動数 $\omega$）に閉じこめられた理想ボース気体をなしている。1 粒子のエネルギー準位は、零点エネルギーを基準にとって
$$\epsilon =(n_x+n_y)\hslash \omega (n_x,n_y=0,1,2,\dots )$$
で与えられる。$N$ は十分大きく、励起状態についての和は状態密度 $D(\epsilon )=\frac{\epsilon }{(\hslash \omega {)}^2}$ を用いた積分で近似してよい。ボルツマン定数を $k_B$、ディラック定数を $\hslash$ とし、必要なら
$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$$
を用いてよい。この気体がボース・アインシュタイン凝縮を起こす転移温度 $T_c$ を $N$, $\hslash$, $\omega$, $k_B$ を用いて表せ。

互いに独立で区別できる $N$ 個の磁気モーメントからなる常磁性体が、絶対温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にあり、$z$ 方向に大きさ $B$ の一様な磁場がかかっている。各磁気モーメントの $z$ 成分は $\mu m$（$m=1,0,-1$ の 3 通り、$\mu >0$ は定数）をとり、そのエネルギーは $-\mu mB$ である。磁化（磁気モーメントの $z$ 成分の和の平均）を $M=N\mu ⟨m⟩$ とする。ボルツマン定数を $k_B$ とする。磁化率 $\chi ={\frac{\partial M}{\partial B}|}_{B=0}$ を $N$, $\mu$, $k_B$, $T$ を用いて表せ。

体積 $V$ の空洞が絶対温度 $T$ の壁に囲まれ、内部の電磁波（光子気体）が熱平衡にある。空洞内の電磁場の基準振動は、波数ベクトル $\mathbf{k}$（周期境界条件）と 2 つの偏光で指定され、角振動数は $\omega =c|\mathbf{k}|$ である（$c$ は光速）。各基準振動をエネルギー準位 $n\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$、零点エネルギーは除く）の量子調和振動子とみなす。$V$ は十分大きく、基準振動についての和は積分で近似してよい。ボルツマン定数を $k_B$、ディラック定数を $\hslash$ とし、必要なら
$${\int }_0^{\infty }{x}^2\log \left(1-e^{-x}\right)dx=-\frac{{\pi }^4}{45}$$
を用いてよい。この光子気体のエントロピー $S$ を $k_B$, $\hslash$, $c$, $V$, $T$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子からなる系が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各振動子のエネルギー準位は
$$E_n=n\epsilon (n=0,1,2,\dots )$$
で、縮退はない（$\epsilon >0$ は定数。零点エネルギーは基準に含めて $0$ とした）。ボルツマン定数を $k_B$ とする。

この系のヘルムホルツの自由エネルギー $F=-k_{B}T\log Z$ と $S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)$ を用いて、温度が $k_{B}T=\frac{\epsilon }{\log 2}$ のときのエントロピー $S$ を求め、$\frac{S}{N{k}_B}$ の値を答えよ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の粒子からなる系が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各粒子がとりうるエネルギー準位は、縮退のない基底準位 $0$ と、縮退度 $2$ の励起準位 $\epsilon (\epsilon >0)$ の 2 つだけであるとする。ボルツマン定数を $k_B$ とし、カノニカル分布にしたがうものとする。

温度が $k_{B}T=\frac{\epsilon }{\log 2}$ を満たすとき、この系の熱容量 $C$ について、$\frac{C}{N{k}_B}$ の値を求めよ。

角振動数 $\omega$ の 1 次元量子調和振動子 1 個が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。振動子のエネルギー準位は $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega (n=0,1,2,\dots )$ で、各準位に縮退はない。$\hslash$ はディラック定数、$k_B$ はボルツマン定数とし、振動子はカノニカル分布にしたがうものとする。

振動子のエネルギーの平均値（零点エネルギーを含む）が $\frac{5}{6}\hslash \omega$ となる温度について、$\frac{k_{B}T}{\hslash \omega }$ の値を求めよ。

面積 $A$ の正方形の 2 次元領域に閉じ込められた、質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の自由なフェルミ粒子 $N$ 個からなる理想フェルミ気体がある。粒子どうしの相互作用は無視し、1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2|\mathbf{k}{|}^2}{2m}$（$\mathbf{k}$ は 2 次元の波数ベクトル）とする。境界条件は周期境界条件とし、$N\gg 1$ で波数についての和は積分で近似してよい。スピンの向きによってエネルギーは変わらない。絶対零度におけるフェルミエネルギー ${\epsilon }_F$ を、$N,A,m,\hslash$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の粒子からなる孤立系を考える。各粒子がとりうるエネルギー準位は、縮退のない $0$ と、縮退のない $\epsilon (\epsilon >0)$ の 2 つだけである。系の全エネルギーが $E=\frac{N\epsilon }{4}$ に固定されているとき、ミクロカノニカル分布にもとづいてこの系の温度 $T$ を求めよ。ただし、$N$ は 4 の倍数で十分大きく、エネルギー $\epsilon$ の準位にある粒子の数 $M$ とともにスターリングの近似 $\log n!\approx n\log n-n$ が使えるものとする。エントロピーはボルツマンの関係式 $S=k_B\log W$（$W$ は状態数、$k_B$ はボルツマン定数）で定め、温度は $\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ で定める。$T$ を $\epsilon$, $k_B$ を用いて表せ。

一辺 $L$ の正方形（面積 $A=L^2$）の中に閉じ込められた、互いに相互作用しない質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の 2 次元理想フェルミ気体がある。面密度は $n=\frac{N}{A}$（$N$ は粒子数）である。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k=|\mathbf{k}|$）で、周期的境界条件により波数は $\mathbf{k}=\frac{2\pi }{L}(n_x,n_y)$（$n_x,n_y$ は整数）の値をとる。各波数の状態にはスピンの向きが 2 通りあり、パウリの排他原理に従って粒子が詰まる。$L$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。絶対零度におけるフェルミエネルギー ${\epsilon }_F$ を $n$, $m$, $\hslash$ を用いて表せ。

体積 $V$ の空洞の中の電磁波（光子気体）が、壁と温度 $T$ で熱平衡にある。単位体積あたり、角振動数が $\omega$ と $\omega +d\omega$ の間にある放射のエネルギーはプランクの式
$$u(\omega )d\omega =\frac{\hslash }{{\pi }^2{c}^3}\frac{{\omega }^3}{e^{\hslash \omega /k_{B}T}-1}d\omega$$
で与えられる（$c$ は真空中の光速、$k_B$ はボルツマン定数）。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いよ。体積 $V$ を一定に保ったときの熱容量から、$T\to 0$ でエントロピーが $0$ になること（熱力学第 3 法則）を用いて、この光子気体のエントロピー $S$ を $V$, $T$, $k_B$, $\hslash$, $c$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（すべて角振動数 $\omega$）が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各振動子のエネルギー準位は $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とし、系はカノニカル分布に従うものとする。ボルツマン定数を $k_B$ とする。

この温度 $T$ では、1 個の振動子が基底状態 $n=0$ にある確率がちょうど $\frac{1}{2}$ であった。この温度における系全体の定積熱容量 $C$ を、$N$ と $k_B$ を用いて表せ。

質量 $m$ の $N$ 個の粒子が、3 次元空間で、原点からの距離 $r$ だけによるポテンシャル $V(r)=Ar$（$A$ は正の定数）の中に閉じ込められている。粒子どうしの相互作用は無視でき、系は温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。粒子は古典的に扱ってよい（古典統計力学の正準分布に従い、粒子の内部自由度は考えない）。ボルツマン定数を $k_B$ とする。正準分配関数を計算して、この系の熱容量を $N,k_B$ を用いて表せ。

互いに独立で区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（すべて角振動数 $\omega$）からなる孤立系がある。各振動子のエネルギーは、零点エネルギーを除いて $n\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）で、系の全エネルギー（零点エネルギーを除く）は $E=M\hslash \omega$（$M$ は正の整数）である。この系をミクロカノニカル分布で扱い、エントロピーを $S=k_B\log W$（$W$ は全エネルギーが $E$ となる微視的状態の数、$k_B$ はボルツマン定数）で定める。$N,M\gg 1$ としてスターリングの公式 $\log n!\approx n\log n-n$ を用い、$E$ を連続変数とみなすとき、$\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ で定まる温度 $T$ を、$E,N,\hslash ,\omega ,k_B$ を用いて表せ。

$N$ 個の原子が長さ $L$ の直線上に並んだ 1 次元結晶を考える。原子は直線方向（縦方向）にのみ振動し、格子振動の基準振動（フォノン）の角振動数 $\omega$ と波数 $k$ の関係は $\omega =v|k|$（$v$ は音速で一定）とする。周期境界条件を課し、$N\gg 1$ で波数についての和は積分で近似してよい。デバイ模型にならい、基準振動の総数が $N$ に等しくなるように角振動数の上限（デバイ角振動数）${\omega }_D$ を定め、デバイ温度を ${\theta }_D=\frac{\hslash {\omega }_D}{k_B}$ とする（$k_B$ はボルツマン定数）。温度 $T$ が $T\ll {\theta }_D$ を満たすとき、この結晶の格子振動による熱容量の主要項を、$N,k_B,T,{\theta }_D$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。

断面積が一定で、高さ $H$ の鉛直に立てた密閉容器の中に、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる理想気体が入っている。容器内には鉛直下向きの一様な重力（重力加速度の大きさ $g$）がはたらき、容器の底を高さ $0$ として、高さ $z$ にある分子は位置エネルギー $mgz$（$0\leqq z\leqq H$）をもつ。気体は温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にあり、分子は古典的に扱ってよい（分子間の相互作用と分子の内部自由度は無視する）。ボルツマン定数を $k_B$ とし、$x=\frac{mgH}{k_{B}T}$ とおく。容器の体積を一定に保ったときのこの気体の熱容量を、$N,k_B,x$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない $N$ 個の異核 2 原子分子からなる理想気体が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各分子の回転運動を慣性モーメント $I$ の剛体回転子とみなすと、回転のエネルギー準位は
$$E_l=\frac{{\hslash }^2}{2I}l(l+1)(l=0,1,2,\dots )$$
で、準位 $E_l$ の縮退度は $2l+1$ である。ボルツマン定数を $k_B$ とし、$x=\frac{{\hslash }^2}{I{k}_{B}T}$ とおく。低温 $x\gg 1$ において、この気体の回転運動による熱容量の主要項（$x$ についての最も大きい項）を、$N,k_B,x$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（角振動数はすべて $\omega$）からなる孤立系（アインシュタイン模型）を考える。各振動子のエネルギー準位は $\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega (n=0,1,2,\dots )$ である。系の全エネルギーが、零点エネルギーを含めて $E=\frac{5}{2}N\hslash \omega$ に固定されているとき、ミクロカノニカル分布にもとづいてこの系の温度 $T$ を求めよ。ただし、$N$ は十分大きく、状態数の計算に現れる階乗にはスターリングの近似 $\log n!\approx n\log n-n$ を使ってよい（$N$ に比べて $1$ は無視してよい）。エントロピーは $S=k_B\log W$（$W$ は状態数、$k_B$ はボルツマン定数）、温度は $\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ で定める。$T$ を $\hslash$, $\omega$, $k_B$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個のスピン $\frac{1}{2}$ の磁気モーメントからなる常磁性体を考える。磁束密度 $B(B>0)$ の一様な磁場の中で、各磁気モーメントのエネルギーは $-\mu B$（磁場と平行）または $+\mu B$（反平行）の 2 通りの値をとる（$\mu >0$ は定数）。格子振動などほかの自由度は無視する。はじめ、この常磁性体は磁束密度 $B_i$ の磁場の中で温度 $T_i$ の熱浴と熱平衡にあった。次に熱浴から切り離して断熱し、磁場を準静的に $B_f(0<B_f<B_i)$ までゆっくり弱めた（断熱消磁）。各時刻で系はカノニカル分布で表される熱平衡状態にあるとみなす。最終状態の温度 $T_f$ を $T_i$, $B_i$, $B_f$ を用いて表せ。

体積 $V$ の立方体の箱に、質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の互いに相互作用しないフェルミ粒子 $N$ 個が閉じ込められている（3 次元の理想フェルミ気体）。数密度を $n=\frac{N}{V}$ とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$V$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。絶対零度におけるこの気体の圧力 $P=-{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_N$（$U$ は基底状態のエネルギー）を $n$, $m$, $\hslash$ を用いて表せ。

体積 $V$ の箱の中に、質量をもたないスピン $\frac{1}{2}$ のフェルミ粒子が $N$ 個閉じ込められている。各運動量 $\mathbf{p}$ に対してスピン状態は $2$ つある（縮重度 $2$）とする。粒子どうしの相互作用は無視する。1 粒子のエネルギーは運動量の大きさ $p$ を用いて $\epsilon =cp$（$c$ は光速）で与えられる。反粒子の生成は考えない。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、粒子は化学ポテンシャル $\mu$ のフェルミ分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}$$
に従う。数密度を $n=\frac{N}{V}$ とし、$V$ は十分大きく、運動量についての和は（スピンについての和とは別に）積分 $\sum _{\mathbf{p}}\to \frac{V}{(2\pi \hslash {)}^3}\int d^{3}p$ で置き換えてよい（$\hslash$ はディラック定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

温度が十分低く $k_{B}T$ がフェルミエネルギーに比べて十分小さいとき、なめらかな関数 $\varphi (\epsilon )$（$\varphi (0)=0$）に対するゾンマーフェルト展開
$${\int }_0^{\infty }\varphi (\epsilon )f(\epsilon )d\epsilon ={\int }_0^{\mu }\varphi (\epsilon )d\epsilon +\frac{{\pi }^2}{6}(k_{B}T{)}^2{\varphi }^{\prime }(\mu )+\cdots$$
を用いてよい。化学ポテンシャル $\mu$ を、$T$ の 2 次までの精度で $n,T,\hslash ,c,k_B$ を用いて表せ。

質量 $m$ の原子 $N$ 個（$N\gg 1$）が、ばね定数 $K$ のばねで隣どうしつながれ、平衡位置の間隔 $a$ で直線上に並んだ 1 次元結晶（全長 $L=Na$）を考える。原子は鎖の方向（縦方向）にのみ振動し、周期境界条件を課す。この鎖の格子振動の分散関係は $\omega (k)=2\sqrt{\frac{K}{m}}\left|\sin \frac{ka}{2}\right|$ である。

この格子振動をデバイ模型で扱う。すなわち、分散関係を長波長極限の音速 $c$ を用いた $\omega =c|k|$ で置き換え、基準振動の総数が $N$ になるように波数の大きさに上限 $k_D$（デバイ波数）を設ける。各基準振動は角振動数 $\omega$ の量子調和振動子として扱い、フォノンはボース・アインシュタイン統計（化学ポテンシャル $0$）に従うとする。$\hslash$ はディラック定数、$k_B$ はボルツマン定数である。

温度 $T$ がデバイ温度 ${\Theta }_D=\frac{\hslash c{k}_D}{k_B}$ に比べて十分低い（$T\ll {\Theta }_D$）とき、この鎖の定積熱容量 $C$ を、温度 $T$ について最低次の項まで求め、$N,k_B,T,\hslash ,m,K$ を用いて表せ。必要なら次の積分を用いてよい。
$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$$

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の磁性イオンからなる常磁性体が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各イオンはスピン $1$ をもち、スピンの $z$ 成分 $m=-1,0,1$ の 3 つの状態をとる。結晶場の効果と、$z$ 軸の正の向きにかけた磁束密度 $B$ の一様磁場によって、各イオンのハミルトニアンは
$$H=D{m}^2-\mu Bm$$
で与えられる（$D>0$ は結晶場の定数、$\mu >0$ は磁気モーメントの大きさを表す定数）。系全体の磁気モーメントの $z$ 成分の熱平均を $M=N\mu ⟨m⟩$ とするとき、磁場が $0$ の極限での磁化率 $\chi ={\frac{\partial M}{\partial B}|}_{B=0}$ を、$N,\mu ,D,T$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。

長さ $a$ の線分（セグメント）$N$ 個を順につないだ 1 次元の高分子鎖のモデルを考える。各セグメントは $x$ 軸の正の向きか負の向きのどちらかを向き、セグメントの向きによってエネルギーは変わらない（全エネルギーは向きの組によらず一定）。鎖の一端を原点に固定し、他端の $x$ 座標を $X$（$-Na<X<Na$）とする。セグメントは区別でき、$X$ を与えたときに実現する向きの組はすべて等確率（ミクロカノニカル分布）とする。エントロピーを $S(X)=k_B\log W(X)$（$W(X)$ は端の座標が $X$ となる向きの組の数、$k_B$ はボルツマン定数）で定め、$N\gg 1$ および $Na\pm X\gg a$ としてスターリングの公式 $\log n!\approx n\log n-n$ を用い、$X$ を連続変数とみなす。鎖が温度 $T$ にあるとき、他端を座標 $X$（$X>0$）に保つために $x$ 軸の正の向きに加える力の大きさ $f$ は、熱力学の関係式 $f=-T{\left(\frac{\partial S}{\partial X}\right)}_E$ で与えられる（$E$ は内部エネルギー）。$f$ を $N,a,X,T,k_B$ を用いて表せ。

質量 $m$ のスピン $0$ のボース粒子 $N$ 個（$N\gg 1$）が、2 次元の等方的な調和ポテンシャル $V(x,y)=\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2)$（$\omega >0$）に閉じ込められている。粒子間の相互作用は無視する。1 粒子のエネルギー準位は、零点エネルギーを基準として $\epsilon =(n_x+n_y)\hslash \omega$（$n_x,n_y=0,1,2,\dots$）である。系は温度 $T$ の熱浴と粒子を交換しない形で熱平衡にあり、大正準分布（ボース分布）で扱う。$k_{B}T\gg \hslash \omega$ の温度域では、励起状態についての和を状態密度を用いた積分で近似してよい。この近似のもとで、基底状態に巨視的な数の粒子が凝縮し始める温度（ボース・アインシュタイン凝縮の転移温度）$T_c$ を、$N,\hslash ,\omega$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。

体積 $V$ の空洞の内部が、温度 $T$ の壁と熱平衡にある電磁波（光子気体）で満たされている。空洞内の電磁場の基準振動は、波数ベクトル $\mathbf{k}$ ごとに 2 つの独立な偏光をもち、角振動数は $\omega =c|\mathbf{k}|$（$c$ は真空中の光速）である。空洞は十分に大きく、基準振動についての和は周期境界条件のもとで積分に置き換えてよい。光子数は保存せず、光子の化学ポテンシャルは $0$ とする。零点エネルギーは考えない。この光子気体のヘルムホルツの自由エネルギー $F$ を分配関数から求め、それを用いてエントロピー $S$ を、$V,T,\hslash ,c$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。

面積 $A$ の 2 次元結晶膜が温度 $T$ で熱平衡にある。この膜の面に垂直な方向の振動（屈曲振動）は、波数ベクトル $\mathbf{k}$（大きさ $k=|\mathbf{k}|$）のフォノンとして扱え、その分散関係は
$$\omega =\alpha k^2(\alpha >0\text{ は定数})$$
で与えられる。屈曲振動の偏りは 1 種類だけで、膜は十分に大きく、周期的境界条件のもとで $\mathbf{k}$ についての和は積分で近似できるとする。また、温度は十分低く、角振動数の上限（デバイ型のカットオフ）は無限大とみなしてよい。フォノンは化学ポテンシャル $0$ のボース分布に従うとし、零点エネルギーは温度によらないので無視してよい。必要なら
$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$$
を用いよ。屈曲振動による膜の定積熱容量 $C$ を $A$, $T$, $\alpha$, ボルツマン定数 $k_B$, $\hslash$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個のイオンからなる常磁性体が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各イオンはスピン量子数 $1$ をもち、磁気量子数 $m=-1,0,1$ の 3 つの状態をとる。結晶場の効果と、$z$ 方向にかけた磁束密度 $B$ の磁場との相互作用により、1 個のイオンの状態 $m$ のエネルギーは
$${\epsilon }_m=D{m}^2-\mu Bm$$
で与えられる。ここで $D>0$ は結晶場による分裂の大きさ、$\mu >0$ は磁気モーメントの大きさを表す定数であり、状態 $m$ のイオンの磁気モーメントの $z$ 成分は $\mu m$ である。系全体の磁気モーメントの $z$ 成分の熱平均を $M$ とするとき、ゼロ磁場での帯磁率
$$\chi ={\frac{\partial M}{\partial B}|}_{B=0}$$
を $N$, $\mu$, $D$, $T$, ボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。

鉛直に立てた断面積 $S$、高さ $L$ の円筒容器（底面が $z=0$、上面が $z=L$、$z$ 軸は鉛直上向き）の中に、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる理想気体が閉じ込められ、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。分子は一様な重力（重力加速度の大きさ $g$）を受け、高さ $z$ にある分子の位置エネルギーは $mgz$ である。分子どうしの相互作用はなく、分子の運動は古典統計力学で扱えるとする（分子は区別できない同種粒子として扱う）。容器の体積は一定である。この気体の定積熱容量 $C$ を $N$, $m$, $g$, $L$, $T$, ボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。

面積 $A$ の 2 次元の箱に閉じ込められた、スピン $0$、質量 $m$ の理想ボース気体が、温度 $T$ の熱浴と粒子だめに接して熱平衡にある（グランドカノニカル分布）。面密度を $n=\frac{N}{A}$（$N$ は粒子数の平均）とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$A$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。粒子はボース分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}-1}$$
に従う（$\mu$ は化学ポテンシャル、$k_B$ はボルツマン定数）。このとき $\mu$ を $n$, $m$, $T$, $\hslash$, $k_B$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない異核 2 原子分子 $N$ 個からなる理想気体が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。分子の回転運動だけに注目し、各分子を慣性モーメント $I$ の剛体回転子とみなす。回転のエネルギー準位は
$$E_l=\frac{{\hslash }^2}{2I}l(l+1)(l=0,1,2,\dots )$$
で、準位 $E_l$ の縮退度は $2l+1$ である。回転の特性温度を $\Theta =\frac{{\hslash }^2}{2I{k}_{\mathrm{B}}}$（$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数）とし、$x=\frac{\Theta }{T}$ とおく。回転以外の自由度（並進・振動・電子状態・核スピン）は考えない。

高温 $T\gg \Theta$（すなわち $x\ll 1$）で、回転による定積熱容量 $C_{\mathrm{rot}}$ が
$$C_{\mathrm{rot}}=N{k}_{\mathrm{B}}\left[1+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+O(x^4)\right]$$
と展開されるとき、係数 $a_3$ を既約分数で求めよ。