統計力学の問題

互いに相互作用しない異核 2 原子分子 $N$ 個からなる理想気体が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。分子の回転運動だけに注目し、各分子を慣性モーメント $I$ の剛体回転子とみなす。回転のエネルギー準位は
$$E_l=\frac{{\hslash }^2}{2I}l(l+1)(l=0,1,2,\dots )$$
で、準位 $E_l$ の縮退度は $2l+1$ である。回転の特性温度を $\Theta =\frac{{\hslash }^2}{2I{k}_{\mathrm{B}}}$（$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数）とし、$x=\frac{\Theta }{T}$ とおく。回転以外の自由度（並進・振動・電子状態・核スピン）は考えない。

高温 $T\gg \Theta$（すなわち $x\ll 1$）で、回転による定積熱容量 $C_{\mathrm{rot}}$ が
$$C_{\mathrm{rot}}=N{k}_{\mathrm{B}}\left[1+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+O(x^4)\right]$$
と展開されるとき、係数 $a_3$ を既約分数で求めよ。

断面積が一定で、高さ $H$ の鉛直に立てた密閉容器の中に、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる理想気体が入っている。容器内には鉛直下向きの一様な重力（重力加速度の大きさ $g$）がはたらき、容器の底を高さ $0$ として、高さ $z$ にある分子は位置エネルギー $mgz$（$0\leqq z\leqq H$）をもつ。気体は温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にあり、分子は古典的に扱ってよい（分子間の相互作用と分子の内部自由度は無視する）。ボルツマン定数を $k_B$ とし、$x=\frac{mgH}{k_{B}T}$ とおく。容器の体積を一定に保ったときのこの気体の熱容量を、$N,k_B,x$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の粒子からなる系が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各粒子がとりうるエネルギー準位は、縮退のない基底準位 $0$ と、縮退度 $2$ の励起準位 $\epsilon (\epsilon >0)$ の 2 つだけであるとする。ボルツマン定数を $k_B$ とし、カノニカル分布にしたがうものとする。

温度が $k_{B}T=\frac{\epsilon }{\log 2}$ を満たすとき、この系の熱容量 $C$ について、$\frac{C}{N{k}_B}$ の値を求めよ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子からなる系が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各振動子のエネルギー準位は
$$E_n=n\epsilon (n=0,1,2,\dots )$$
で、縮退はない（$\epsilon >0$ は定数。零点エネルギーは基準に含めて $0$ とした）。ボルツマン定数を $k_B$ とする。

この系のヘルムホルツの自由エネルギー $F=-k_{B}T\log Z$ と $S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)$ を用いて、温度が $k_{B}T=\frac{\epsilon }{\log 2}$ のときのエントロピー $S$ を求め、$\frac{S}{N{k}_B}$ の値を答えよ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（すべて角振動数 $\omega$）が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各振動子のエネルギー準位は $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とし、系はカノニカル分布に従うものとする。ボルツマン定数を $k_B$ とする。

この温度 $T$ では、1 個の振動子が基底状態 $n=0$ にある確率がちょうど $\frac{1}{2}$ であった。この温度における系全体の定積熱容量 $C$ を、$N$ と $k_B$ を用いて表せ。