統計力学の問題

体積 $V$ の空洞が絶対温度 $T$ の壁に囲まれ、内部の電磁波（光子気体）が熱平衡にある。空洞内の電磁場の基準振動は、波数ベクトル $\mathbf{k}$（周期境界条件）と 2 つの偏光で指定され、角振動数は $\omega =c|\mathbf{k}|$ である（$c$ は光速）。各基準振動をエネルギー準位 $n\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$、零点エネルギーは除く）の量子調和振動子とみなす。$V$ は十分大きく、基準振動についての和は積分で近似してよい。ボルツマン定数を $k_B$、ディラック定数を $\hslash$ とし、必要なら
$${\int }_0^{\infty }{x}^2\log \left(1-e^{-x}\right)dx=-\frac{{\pi }^4}{45}$$
を用いてよい。この光子気体のエントロピー $S$ を $k_B$, $\hslash$, $c$, $V$, $T$ を用いて表せ。

スピンをもたない $N$ 個の同種ボース粒子が、2 次元の等方的な調和ポテンシャル（角振動数 $\omega$）に閉じこめられた理想ボース気体をなしている。1 粒子のエネルギー準位は、零点エネルギーを基準にとって
$$\epsilon =(n_x+n_y)\hslash \omega (n_x,n_y=0,1,2,\dots )$$
で与えられる。$N$ は十分大きく、励起状態についての和は状態密度 $D(\epsilon )=\frac{\epsilon }{(\hslash \omega {)}^2}$ を用いた積分で近似してよい。ボルツマン定数を $k_B$、ディラック定数を $\hslash$ とし、必要なら
$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$$
を用いてよい。この気体がボース・アインシュタイン凝縮を起こす転移温度 $T_c$ を $N$, $\hslash$, $\omega$, $k_B$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（すべて角振動数 $\omega$）が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各振動子のエネルギー準位は $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とし、系はカノニカル分布に従うものとする。ボルツマン定数を $k_B$ とする。

この温度 $T$ では、1 個の振動子が基底状態 $n=0$ にある確率がちょうど $\frac{1}{2}$ であった。この温度における系全体の定積熱容量 $C$ を、$N$ と $k_B$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の粒子からなる孤立系を考える。各粒子がとりうるエネルギー準位は、縮退のない $0$ と、縮退のない $\epsilon (\epsilon >0)$ の 2 つだけである。系の全エネルギーが $E=\frac{N\epsilon }{4}$ に固定されているとき、ミクロカノニカル分布にもとづいてこの系の温度 $T$ を求めよ。ただし、$N$ は 4 の倍数で十分大きく、エネルギー $\epsilon$ の準位にある粒子の数 $M$ とともにスターリングの近似 $\log n!\approx n\log n-n$ が使えるものとする。エントロピーはボルツマンの関係式 $S=k_B\log W$（$W$ は状態数、$k_B$ はボルツマン定数）で定め、温度は $\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ で定める。$T$ を $\epsilon$, $k_B$ を用いて表せ。

角振動数 $\omega$ の 1 次元量子調和振動子 1 個が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。振動子のエネルギー準位は $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega (n=0,1,2,\dots )$ で、各準位に縮退はない。$\hslash$ はディラック定数、$k_B$ はボルツマン定数とし、振動子はカノニカル分布にしたがうものとする。

振動子のエネルギーの平均値（零点エネルギーを含む）が $\frac{5}{6}\hslash \omega$ となる温度について、$\frac{k_{B}T}{\hslash \omega }$ の値を求めよ。