統計力学の問題

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の粒子からなる系が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各粒子がとりうるエネルギー準位は、縮退のない基底準位 $0$ と、縮退度 $2$ の励起準位 $\epsilon (\epsilon >0)$ の 2 つだけであるとする。ボルツマン定数を $k_B$ とし、カノニカル分布にしたがうものとする。

温度が $k_{B}T=\frac{\epsilon }{\log 2}$ を満たすとき、この系の熱容量 $C$ について、$\frac{C}{N{k}_B}$ の値を求めよ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（すべて角振動数 $\omega$）が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各振動子のエネルギー準位は $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とし、系はカノニカル分布に従うものとする。ボルツマン定数を $k_B$ とする。

この温度 $T$ では、1 個の振動子が基底状態 $n=0$ にある確率がちょうど $\frac{1}{2}$ であった。この温度における系全体の定積熱容量 $C$ を、$N$ と $k_B$ を用いて表せ。

角振動数 $\omega$ の 1 次元量子調和振動子 $N$ 個からなる系が、絶対温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各振動子のエネルギー準位は $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$、縮退なし）であり、振動子どうしは区別でき、相互作用しない（独立）。ボルツマン定数を $k_B$、ディラック定数を $\hslash$ とする。温度が $T=\frac{\hslash \omega }{k_B\log 3}$ のときの、系全体の平均エネルギー $⟨E⟩$ を $N$, $\hslash$, $\omega$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子からなる系が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各振動子のエネルギー準位は
$$E_n=n\epsilon (n=0,1,2,\dots )$$
で、縮退はない（$\epsilon >0$ は定数。零点エネルギーは基準に含めて $0$ とした）。ボルツマン定数を $k_B$ とする。

この系のヘルムホルツの自由エネルギー $F=-k_{B}T\log Z$ と $S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)$ を用いて、温度が $k_{B}T=\frac{\epsilon }{\log 2}$ のときのエントロピー $S$ を求め、$\frac{S}{N{k}_B}$ の値を答えよ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の粒子からなる孤立系を考える。各粒子がとりうるエネルギー準位は、縮退のない $0$ と、縮退のない $\epsilon (\epsilon >0)$ の 2 つだけである。系の全エネルギーが $E=\frac{N\epsilon }{4}$ に固定されているとき、ミクロカノニカル分布にもとづいてこの系の温度 $T$ を求めよ。ただし、$N$ は 4 の倍数で十分大きく、エネルギー $\epsilon$ の準位にある粒子の数 $M$ とともにスターリングの近似 $\log n!\approx n\log n-n$ が使えるものとする。エントロピーはボルツマンの関係式 $S=k_B\log W$（$W$ は状態数、$k_B$ はボルツマン定数）で定め、温度は $\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ で定める。$T$ を $\epsilon$, $k_B$ を用いて表せ。