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統計力学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理統計力学

面積 $A$ の正方形の 2 次元領域に閉じ込められた、質量 $m$ 、スピン $\frac{1}{2}$ の自由なフェルミ粒子 $N$ 個からなる理想フェルミ気体がある。粒子どうしの相互作用は無視し、1 粒子のエネルギーは $ε = \frac{ℏ ^{2} ∣ k ∣ ^{2}}{2 m}$ （ $k$ は 2 次元の波数ベクトル）とする。境界条件は周期境界条件とし、 $N ≫ 1$ で波数についての和は積分で近似してよい。スピンの向きによってエネルギーは変わらない。絶対零度におけるフェルミエネルギー $ε_{F}$ を、 $N, A, m, ℏ$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

大正準分布とボース分布・フェルミ分布（説明と入口の問題）
同種粒子と交換対称性（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（162 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

周期境界条件から許される波数ベクトルを求め、 $k$ 空間で 1 状態が占める面積を求めよう。

ヒント 2

絶対零度では半径 $k_{F}$ の円の内部がすべて埋まる。スピンの縮退 2 を忘れずに状態数を数える。

ヒント 3

$N = 2 \cdot \frac{π k _{F}^{2}}{( 2 π ) ^{2} / A}$ から $k_{F}$ を求め、 $ε_{F} = \frac{ℏ ^{2} k _{F}^{2}}{2 m}$ に代入する。

答えと解説

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\frac{π ℏ ^{2} N}{m A}

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解説を読む

一辺の長さを $L$ （ $L^{2} = A$ ）とすると、周期境界条件より許される波数は
$k = \frac{2 π}{L} (n_{x}, n_{y}) (n_{x}, n_{y} は整数)$
である。よって $k$ 空間で 1 つの波数が占める面積は $(\frac{2 π}{L})^{2} = \frac{4 π ^{2}}{A}$ である。

絶対零度では、フェルミ粒子はパウリの排他原理により 1 つの量子状態（波数とスピンの組）に高々 1 個しか入れないので、エネルギーの低い状態から順に 1 個ずつ占有し、 $∣ k ∣ ≦ k_{F}$ の円の内部の状態がすべて埋まる（フェルミ分布 $f (ε) = \frac{1}{e ^{(ε - μ) / k_{B} T} + 1}$ は $T \to 0$ で階段関数になる）。

スピンの自由度 2 を考えると、粒子数は
$N = 2 \times \frac{π k _{F}^{2}}{4 π ^{2} / A} = \frac{A k _{F}^{2}}{2 π}$
となる。よって $k_{F}^{2} = \frac{2 π N}{A}$ であり、
$ε_{F} = \frac{ℏ ^{2} k _{F}^{2}}{2 m} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \cdot \frac{2 π N}{A} = \frac{π ℏ ^{2} N}{m A}$

別解

周期境界条件では波数空間の状態密度は $A / (2 π)^{2}$ 。スピンの自由度 2 を考慮すると、絶対零度でフェルミ波数 $k_{F}$ までの円内がすべて占有されるので $N = 2 \cdot \frac{A}{( 2 π ) ^{2}} \cdot π k_{F}^{2} = \frac{A k _{F}^{2}}{2 π}$ 。よって $k_{F}^{2} = \frac{2 π N}{A}$ 。 $ε_{F} = \frac{ℏ ^{2} k _{F}^{2}}{2 m} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \cdot \frac{2 π N}{A} = \frac{π ℏ ^{2} N}{m A}$ 。検算: 状態密度 $g (ε) = \frac{m A}{π ℏ ^{2}}$ （スピン込み、一定）より $N = \int_{0}^{ε_{F}} g d ε = \frac{m A ε _{F}}{π ℏ ^{2}}$ となり一致。

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