統計力学の問題

一辺 $L$ の正方形（面積 $A=L^2$）の中に閉じ込められた、互いに相互作用しない質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の 2 次元理想フェルミ気体がある。面密度は $n=\frac{N}{A}$（$N$ は粒子数）である。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k=|\mathbf{k}|$）で、周期的境界条件により波数は $\mathbf{k}=\frac{2\pi }{L}(n_x,n_y)$（$n_x,n_y$ は整数）の値をとる。各波数の状態にはスピンの向きが 2 通りあり、パウリの排他原理に従って粒子が詰まる。$L$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。絶対零度におけるフェルミエネルギー ${\epsilon }_F$ を $n$, $m$, $\hslash$ を用いて表せ。

面積 $A$ の正方形の 2 次元領域に閉じ込められた、質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の自由なフェルミ粒子 $N$ 個からなる理想フェルミ気体がある。粒子どうしの相互作用は無視し、1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2|\mathbf{k}{|}^2}{2m}$（$\mathbf{k}$ は 2 次元の波数ベクトル）とする。境界条件は周期境界条件とし、$N\gg 1$ で波数についての和は積分で近似してよい。スピンの向きによってエネルギーは変わらない。絶対零度におけるフェルミエネルギー ${\epsilon }_F$ を、$N,A,m,\hslash$ を用いて表せ。

面積 $A$ の 2 次元の箱に閉じ込められた、スピン $0$、質量 $m$ の理想ボース気体が、温度 $T$ の熱浴と粒子だめに接して熱平衡にある（グランドカノニカル分布）。面密度を $n=\frac{N}{A}$（$N$ は粒子数の平均）とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$A$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。粒子はボース分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}-1}$$
に従う（$\mu$ は化学ポテンシャル、$k_B$ はボルツマン定数）。このとき $\mu$ を $n$, $m$, $T$, $\hslash$, $k_B$ を用いて表せ。

体積 $V$ の箱の中に、質量をもたないスピン $\frac{1}{2}$ のフェルミ粒子が $N$ 個閉じ込められている。各運動量 $\mathbf{p}$ に対してスピン状態は $2$ つある（縮重度 $2$）とする。粒子どうしの相互作用は無視する。1 粒子のエネルギーは運動量の大きさ $p$ を用いて $\epsilon =cp$（$c$ は光速）で与えられる。反粒子の生成は考えない。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、粒子は化学ポテンシャル $\mu$ のフェルミ分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}$$
に従う。数密度を $n=\frac{N}{V}$ とし、$V$ は十分大きく、運動量についての和は（スピンについての和とは別に）積分 $\sum _{\mathbf{p}}\to \frac{V}{(2\pi \hslash {)}^3}\int d^{3}p$ で置き換えてよい（$\hslash$ はディラック定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

温度が十分低く $k_{B}T$ がフェルミエネルギーに比べて十分小さいとき、なめらかな関数 $\varphi (\epsilon )$（$\varphi (0)=0$）に対するゾンマーフェルト展開
$${\int }_0^{\infty }\varphi (\epsilon )f(\epsilon )d\epsilon ={\int }_0^{\mu }\varphi (\epsilon )d\epsilon +\frac{{\pi }^2}{6}(k_{B}T{)}^2{\varphi }^{\prime }(\mu )+\cdots$$
を用いてよい。化学ポテンシャル $\mu$ を、$T$ の 2 次までの精度で $n,T,\hslash ,c,k_B$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（角振動数はすべて $\omega$）からなる孤立系（アインシュタイン模型）を考える。各振動子のエネルギー準位は $\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega (n=0,1,2,\dots )$ である。系の全エネルギーが、零点エネルギーを含めて $E=\frac{5}{2}N\hslash \omega$ に固定されているとき、ミクロカノニカル分布にもとづいてこの系の温度 $T$ を求めよ。ただし、$N$ は十分大きく、状態数の計算に現れる階乗にはスターリングの近似 $\log n!\approx n\log n-n$ を使ってよい（$N$ に比べて $1$ は無視してよい）。エントロピーは $S=k_B\log W$（$W$ は状態数、$k_B$ はボルツマン定数）、温度は $\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ で定める。$T$ を $\hslash$, $\omega$, $k_B$ を用いて表せ。