統計力学の問題

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（角振動数はすべて $\omega$）からなる孤立系（アインシュタイン模型）を考える。各振動子のエネルギー準位は $\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega (n=0,1,2,\dots )$ である。系の全エネルギーが、零点エネルギーを含めて $E=\frac{5}{2}N\hslash \omega$ に固定されているとき、ミクロカノニカル分布にもとづいてこの系の温度 $T$ を求めよ。ただし、$N$ は十分大きく、状態数の計算に現れる階乗にはスターリングの近似 $\log n!\approx n\log n-n$ を使ってよい（$N$ に比べて $1$ は無視してよい）。エントロピーは $S=k_B\log W$（$W$ は状態数、$k_B$ はボルツマン定数）、温度は $\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ で定める。$T$ を $\hslash$, $\omega$, $k_B$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の粒子からなる孤立系を考える。各粒子がとりうるエネルギー準位は、縮退のない $0$ と、縮退のない $\epsilon (\epsilon >0)$ の 2 つだけである。系の全エネルギーが $E=\frac{N\epsilon }{4}$ に固定されているとき、ミクロカノニカル分布にもとづいてこの系の温度 $T$ を求めよ。ただし、$N$ は 4 の倍数で十分大きく、エネルギー $\epsilon$ の準位にある粒子の数 $M$ とともにスターリングの近似 $\log n!\approx n\log n-n$ が使えるものとする。エントロピーはボルツマンの関係式 $S=k_B\log W$（$W$ は状態数、$k_B$ はボルツマン定数）で定め、温度は $\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ で定める。$T$ を $\epsilon$, $k_B$ を用いて表せ。

互いに区別できる $N$ 個の粒子からなる孤立系を考える。各粒子はエネルギー $0$ の状態とエネルギー $\epsilon$（$\epsilon >0$）の状態の 2 つだけをとることができ、粒子間の相互作用は無視できる。系の全エネルギーが $E=\frac{N\epsilon }{5}$ であるときの系の温度 $T$ を、$\epsilon$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。

ただし、エネルギー $\epsilon$ の状態にある粒子の数を $M$ とし、$N$, $M$, $N-M$ は十分大きく、スターリングの公式 $\log n!\approx n\log n-n$ が使えるものとする。エントロピーは $S=k_B\log W$（$W$ は全エネルギーが $E$ である微視的状態の数）、温度は $\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ で定める。$\log$ は自然対数とする。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（すべて角振動数 $\omega$）が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各振動子のエネルギー準位は $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とし、系はカノニカル分布に従うものとする。ボルツマン定数を $k_B$ とする。

この温度 $T$ では、1 個の振動子が基底状態 $n=0$ にある確率がちょうど $\frac{1}{2}$ であった。この温度における系全体の定積熱容量 $C$ を、$N$ と $k_B$ を用いて表せ。

長さ $a$ の線分（セグメント）$N$ 個を順につないだ 1 次元の高分子鎖のモデルを考える。各セグメントは $x$ 軸の正の向きか負の向きのどちらかを向き、セグメントの向きによってエネルギーは変わらない（全エネルギーは向きの組によらず一定）。鎖の一端を原点に固定し、他端の $x$ 座標を $X$（$-Na<X<Na$）とする。セグメントは区別でき、$X$ を与えたときに実現する向きの組はすべて等確率（ミクロカノニカル分布）とする。エントロピーを $S(X)=k_B\log W(X)$（$W(X)$ は端の座標が $X$ となる向きの組の数、$k_B$ はボルツマン定数）で定め、$N\gg 1$ および $Na\pm X\gg a$ としてスターリングの公式 $\log n!\approx n\log n-n$ を用い、$X$ を連続変数とみなす。鎖が温度 $T$ にあるとき、他端を座標 $X$（$X>0$）に保つために $x$ 軸の正の向きに加える力の大きさ $f$ は、熱力学の関係式 $f=-T{\left(\frac{\partial S}{\partial X}\right)}_E$ で与えられる（$E$ は内部エネルギー）。$f$ を $N,a,X,T,k_B$ を用いて表せ。