多体系の量子論・物性理論の問題

単位胞 $n$（$n$ は整数、格子定数 $1$）ごとに副格子 A, B のサイトをもつ 1 次元の鎖を考える。スピンのないフェルミ粒子のハミルトニアンは
$$H=\sum _n\left(t_1{c}_{A,n}^{†}{c}_{B,n}+t_2{c}_{A,n}^{†}{c}_{B,n+1}+t_3{c}_{A,n}^{†}{c}_{B,n+2}+\text{h.c.}\right)$$
で、ホッピングは $t_1=1$, $t_2=2$, $t_3=4$（ある単位で測った実数）である。周期境界条件のもとで $c_{X,n}=\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_k{e}^{ikn}{c}_{X,k}$（$X=A,B$）とフーリエ変換すると $H={\sum }_k\left(\begin{array}{cc}{c}_{A,k}^{†}& c_{B,k}^{†}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& q(k)\\ q(k{)}^{\ast }& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_{A,k}\\ c_{B,k}\end{array}\right)$ の形になる。

この模型の巻き付き数
$$W=\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{2\pi }\frac{d}{dk}\log q(k)dk$$
を求めよ。

サイト数 $N$ の 1 次元格子（格子定数 $1$、周期境界条件 $c_{n+N}=c_n$）上のスピンをもたないフェルミ粒子を考える。ハミルトニアンは、最近接と第 2 近接のホッピングを含む強束縛模型
$$H=-t_1\sum _{n=1}^N\left(c_{n+1}^{†}{c}_n+c_n^{†}{c}_{n+1}\right)-t_2\sum _{n=1}^N\left(c_{n+2}^{†}{c}_n+c_n^{†}{c}_{n+2}\right)$$
で与えられる。ここで $c_n$ はサイト $n$ の消滅演算子で $\{c_n,c_m^{†}\}={\delta }_{nm}$ を満たし、$t_1$, $t_2$ は実数の定数である。フーリエ変換
$$c_n=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _k{e}^{ikn}{c}_k\left(k=\frac{2\pi m}{N},m=0,1,\dots ,N-1\right)$$
によって $H=\sum _k\epsilon (k)c_k^{†}{c}_k$ と書けるとき、バンドのエネルギー $\epsilon (k)$ を $t_1$, $t_2$, $k$ を用いて表せ。

2 つのボース粒子のモードの消滅演算子を $a,b$ とし、次の交換関係を満たすとする。
$$[a,a^{†}]=[b,b^{†}]=1,[a,b]=[a,b^{†}]=[a,a]=[b,b]=0$$
真空 $|0⟩$ は $a|0⟩=b|0⟩=0$, $⟨0|0⟩=1$ を満たす。$p,q$ を 0 以上の整数とし、状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{p!q!}}(a^{†}{)}^p(b^{†}{)}^q|0⟩$$
を考える。演算子
$$J_x=\frac{1}{2}\left(a^{†}b+b^{†}a\right)$$
について、期待値 $⟨\psi |J_x^2|\psi ⟩$ を $p,q$ の式で求めよ。

自然単位系 $\hslash =k_B=1$ を用いる。2 次元の超伝導体を考える。フェルミ面は円筒状で、フェルミ面上の角度を $\phi$ とする。フェルミ準位近くの 1 スピンあたりの状態密度は定数 $N(0)$ とする。ペアリング相互作用は
$$V_{\mathbf{k}{\mathbf{k}}^{\prime }}=-V\cos 2\phi \cos 2{\phi }^{\prime }(|{\xi }_{\mathbf{k}}|,|{\xi }_{{\mathbf{k}}^{\prime }}|<{\omega }_D),V_{\mathbf{k}{\mathbf{k}}^{\prime }}=0(\text{それ以外})$$
とする。ここで $V>0$ であり、${\xi }_{\mathbf{k}}$ はフェルミ準位から測った一電子エネルギーである。平均場（BCS）近似では、ギャップは ${\Delta }_{\mathbf{k}}=\Delta (T)\cos 2\phi$（$d$ 波）の形をとる。$\Delta (T)$ が満たすギャップ方程式は
$$1=N(0)V{\int }_0^{2\pi }\frac{d\phi }{2\pi }{\cos }^{2}2\phi {\int }_{-{\omega }_D}^{{\omega }_D}d\xi \frac{\tanh \left(E/2T\right)}{2E},E=\sqrt{{\xi }^2+\Delta (T{)}^2{\cos }^{2}2\phi }$$
である。弱結合 $N(0)V\ll 1$ を仮定する。このとき転移温度 $T_c$ と ${\Delta }_0\equiv \Delta (T=0)$ はともに ${\omega }_D$ より十分小さい。必要なら次の式を用いてよい（$\gamma$ はオイラー定数）。
$${\int }_0^{\Lambda }\frac{\tanh x}{x}dx\simeq \log \frac{4e^{\gamma }\Lambda }{\pi }(\Lambda \gg 1),{\int }_0^a\frac{d\xi }{\sqrt{{\xi }^2+b^2}}\simeq \log \frac{2a}{b}(a\gg b>0),$$
$${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}x\log (\cos x)dx=\frac{\pi }{8}\left(1-2\log 2\right).$$
比 ${\Delta }_0/T_c$ を、$\gamma =0.5772$ として有効数字 3 桁で求めよ。

体積 $V$ の箱（周期境界条件）に閉じ込められた、質量 $m$ の 2 種類のボース粒子 A, B からなる一様な 3 次元の混合ボース気体を考える。$a_{\mathbf{k}},b_{\mathbf{k}}$ をそれぞれ A, B の運動量 $\hslash \mathbf{k}$ の消滅演算子とし、ハミルトニアンを
$$H=\sum _{\mathbf{k}}{\epsilon }_k\left(a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{\mathbf{k}}+b_{\mathbf{k}}^{†}{b}_{\mathbf{k}}\right)+\frac{g}{2V}\sum _{\mathbf{p},\mathbf{k},\mathbf{q}}\left(a_{\mathbf{p}+\mathbf{q}}^{†}{a}_{\mathbf{k}-\mathbf{q}}^{†}{a}_{\mathbf{k}}{a}_{\mathbf{p}}+b_{\mathbf{p}+\mathbf{q}}^{†}{b}_{\mathbf{k}-\mathbf{q}}^{†}{b}_{\mathbf{k}}{b}_{\mathbf{p}}\right)+\frac{g_{12}}{V}\sum _{\mathbf{p},\mathbf{k},\mathbf{q}}{a}_{\mathbf{p}+\mathbf{q}}^{†}{b}_{\mathbf{k}-\mathbf{q}}^{†}{b}_{\mathbf{k}}{a}_{\mathbf{p}}$$
とする。ここで ${\epsilon }_k=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$ であり、接触相互作用の結合定数 $g,g_{12}$ は $0<g_{12}<g$ を満たす定数とする。A, B の粒子数密度はともに $n$ である。

絶対零度において、両成分とも $\mathbf{k}=0$ の状態にボース凝縮しているとし、ボゴリューボフ近似（$a_0,b_0$ を c 数 $\sqrt{nV}$ で置き換え、$\mathbf{k}\ne 0$ の演算子について 2 次の項までを残す。2 次の項の係数に現れる凝縮体密度は $n$ で近似する）を用いる。また $V\to \infty$ として $\frac{1}{V}{\sum }_{\mathbf{k}}\to \int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}$ とし、$g,g_{12}$ の繰り込みは考えない。

このとき、成分 A の非凝縮粒子の密度（量子枯渇）
$$n_A^{\prime }=\frac{1}{V}\sum _{\mathbf{k}\ne 0}⟨a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{\mathbf{k}}⟩$$
を、$m,n,g,g_{12},\hslash$ を用いて表せ。