多体系の量子論・物性理論の問題

スピンを持たないフェルミ粒子の 1 次元鎖を考える。単位胞 $n$（$n=1,2,\dots ,N$）には副格子 A, B のサイトが 1 つずつあり、それぞれの消滅演算子を $a_n,b_n$ とする。周期境界条件 $a_{n+N}=a_n,b_{n+N}=b_n$ を課し、ハミルトニアンを
$$H=\sum _{n=1}^N\left[v{a}_n^{†}{b}_n+w_1{a}_{n+1}^{†}{b}_n+w_2{a}_{n+2}^{†}{b}_n+\text{h.c.}\right]$$
とする。ホッピング振幅は実数で、$v=\frac{1}{2}$, $w_1=1$, $w_2=1$ とする（化学ポテンシャル・オンサイトポテンシャルはない）。

フーリエ変換を $a_n=\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_k{e}^{ikn}{a}_k$, $b_n=\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_k{e}^{ikn}{b}_k$（$k=2\pi m/N$, 格子定数を 1 とする）で定め、
$$H=\sum _k\left(\begin{array}{cc}{a}_k^{†}& b_k^{†}\end{array}\right)h(k)\left(\begin{array}{c}{a}_k\\ b_k\end{array}\right)$$
と書く。$h(k)$ の $(B,A)$ 成分（$b_k^{†}{a}_k$ の係数）を $q(k)$ とし、巻き付き数を
$$W=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\pi }^{\pi }dk\frac{d}{dk}\log q(k)$$
で定義する（$N\to \infty$ で $k$ は連続とみなす）。このとき $W$ の値を求めよ。

サイト数 $N$ の 1 次元格子（格子定数 $1$、周期境界条件 $c_{n+N}=c_n$）上のスピンをもたないフェルミ粒子を考える。ハミルトニアンは、最近接と第 2 近接のホッピングを含む強束縛模型
$$H=-t_1\sum _{n=1}^N\left(c_{n+1}^{†}{c}_n+c_n^{†}{c}_{n+1}\right)-t_2\sum _{n=1}^N\left(c_{n+2}^{†}{c}_n+c_n^{†}{c}_{n+2}\right)$$
で与えられる。ここで $c_n$ はサイト $n$ の消滅演算子で $\{c_n,c_m^{†}\}={\delta }_{nm}$ を満たし、$t_1$, $t_2$ は実数の定数である。フーリエ変換
$$c_n=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _k{e}^{ikn}{c}_k\left(k=\frac{2\pi m}{N},m=0,1,\dots ,N-1\right)$$
によって $H=\sum _k\epsilon (k)c_k^{†}{c}_k$ と書けるとき、バンドのエネルギー $\epsilon (k)$ を $t_1$, $t_2$, $k$ を用いて表せ。

2 サイト（サイト 1, 2）のハバード模型
$$H=-t\sum _{\sigma =\uparrow ,\downarrow }\left(c_{1\sigma }^{†}{c}_{2\sigma }+c_{2\sigma }^{†}{c}_{1\sigma }\right)+U\sum _{i=1,2}{n}_{i\uparrow }{n}_{i\downarrow }$$
を考える。ここで $c_{i\sigma }$ はフェルミ粒子の消滅演算子で、反交換関係 $\{c_{i\sigma },c_{j{\sigma }^{\prime }}^{†}\}={\delta }_{ij}{\delta }_{\sigma {\sigma }^{\prime }}$, $\{c_{i\sigma },c_{j{\sigma }^{\prime }}\}=0$ を満たし、$n_{i\sigma }=c_{i\sigma }^{†}{c}_{i\sigma }$ である。$t=2$, $U=6$（エネルギーはある単位を 1 とした無次元量）とする。

電子数が 2（$\uparrow$ スピン 1 個と $\downarrow$ スピン 1 個、すなわち $S_{\text{tot}}^z=0$）の部分空間で $H$ を厳密に対角化したとき、その部分空間での最低エネルギー固有値を求めよ。答えは整数で答えよ。

$\hslash =k_B=1$ の単位系を使う。1 つのフェルミ粒子の準位だけからなる系
$$H=\xi c^{†}c$$
（$\{c,c^{†}\}=1$、$\xi$ は化学ポテンシャルから測ったエネルギーで実数）が温度 $T>0$ の熱平衡にある。$\beta =1/T$ とし、虚時間グリーン関数を
$$G(\tau )=-⟨T_{\tau }c(\tau )c^{†}(0)⟩,c(\tau )=e^{H\tau }c{e}^{-H\tau }(-\beta <\tau <\beta )$$
で定め、そのフーリエ変換を
$$G(i{\omega }_n)={\int }_0^{\beta }d\tau e^{i{\omega }_n\tau }G(\tau )$$
とする。ここで ${\omega }_n$ はフェルミ粒子の松原振動数で、${\omega }_n=(2n+1)\pi T$（$n$ は整数）と番号を付ける。

$\xi =\pi T$ のとき、$n=0$ の松原振動数 ${\omega }_0=\pi T$ における $G(i{\omega }_0)$ を $T$ を用いて表せ。答えは $a+bi$（$a,b$ は実数）の形にまとめよ。

スピン $1/2$ をもつ 1 個の粒子のハミルトニアンを、パウリ行列 ${\sigma }_z$ を用いて
$$H_0=-\frac{\Delta }{2}{\sigma }_z(\Delta >0)$$
とする。系は絶対零度にあり、基底状態 $|\uparrow ⟩$（${\sigma }_z|\uparrow ⟩=|\uparrow ⟩$）にある。時刻 $t$ に依存する外場 $f(t)$ による摂動 $H^{\prime }=-{\sigma }_{x}f(t)$ を加えたときの ${\sigma }_x$ の応答を考える。$\hslash$ はディラック定数とし、応答関数を久保公式
$$\chi (t)=\frac{i}{\hslash }\theta (t)⟨[{\sigma }_x(t),{\sigma }_x]⟩,{\sigma }_x(t)=e^{i{H}_{0}t/\hslash }{\sigma }_x{e}^{-i{H}_{0}t/\hslash }$$
で定義する（$⟨\cdots ⟩$ は基底状態での期待値、$\theta (t)$ は階段関数）。静的感受率
$${\chi }_0=\underset{\eta \to +0}{\lim }{\int }_0^{\infty }\chi (t)e^{-\eta t}dt$$
を $\Delta$ を用いて表せ。