SSH 模型と巻き付き数

カイラル対称な 2 副格子模型の $h (k)$ の非対角成分 $q (k)$ について、巻き付き数 $W = \frac{1}{2 π i} \oint \frac{d}{d k} lo g q (k) d k$ を $q$ の単位円内の零点の数などから求め、端状態の数との対応を判定できる

前提

強束縛模型とブロッホ・ハミルトニアン（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
偏角の原理（大学数学複素関数）

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算数中学高校大学大学院

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偏角の原理（大学数学複素関数）

説明

SSH（Su-Schrieffer-Heeger）模型は、各単位胞に副格子 A, B をもち、ホッピングが必ず A と B の間だけにある 1 次元の模型です。このような模型ではブロッホ・ハミルトニアンの対角成分が 0 になり（カイラル対称性）、非対角成分 $q (k)$ が $k$ を $0$ から $2 π$ まで動かしたときに複素平面の原点の周りを何回まわるか、という整数（巻き付き数 $W$ ）で相を分類できます。この技能では、 $z = e^{ik}$ と置いて $q$ を $z$ の式にし、偏角の原理を使って単位円内の零点と極の数から $W$ を求め、開いた鎖の端に現れるゼロエネルギーの端状態の数 $∣ W ∣$ を判定します。

なぜそうしてよいのか

副格子 A, B のサイトを $c_{n A}, c_{n B}$ （ $n$ は単位胞の番号）とし、ホッピングを A と B の間だけに限ると、 $H = \sum_{n} \sum_{j} t_{j} (c_{n B}^{†} c_{n + j, A} + c_{n + j, A}^{†} c_{n B})$ （ $t_{j}$ は実数、 $j$ は単位胞のずれ）と書けます。フーリエ変換 $c_{n X} = \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik n} c_{k X}$ をすると、 $c_{n B}^{†} c_{n + j, A}$ の和は $\sum_{k} e^{ij k} c_{k B}^{†} c_{k A}$ になるので、基底 $(c_{k A}, c_{k B})$ で $h (k) = (0 q (k) q (k)^{*} 0), q (k) = j \sum t_{j} e^{ij k}$ です。 $σ_{z} = diag (1, - 1)$ とすると $σ_{z} h (k) σ_{z} = - h (k)$ （カイラル対称性）で、固有値は $\pm ∣ q (k) ∣$ です。したがって $q (k) \neq = 0$ がすべての $k$ で成り立つとき、エネルギー 0 の上下にギャップが開いています。

このとき $k : 0 \to 2 π$ で $q (k)$ は原点を通らない閉曲線を描き、原点を反時計回りにまわる回数が巻き付き数 $W = \frac{1}{2 π i} \oint_{0}^{2 π} \frac{d}{d k} lo g q (k) d k$ です（ $lo g q$ の虚部 $ar g q$ の増加量を $2 π$ で割ったもの）。 $z = e^{ik}$ とおくと $k : 0 \to 2 π$ は単位円 $∣ z ∣ = 1$ を反時計回りに 1 周することで、 $d z = i z d k$ 、 $\frac{d}{d k} lo g q = \frac{q ^{'} ( z )}{q ( z )} \cdot i z$ より $\frac{d}{d k} lo g q d k = \frac{q ^{'} ( z )}{q ( z )} d z$ 。よって偏角の原理から $W = \frac{1}{2 π i} \oint_{∣ z ∣ = 1} \frac{q ^{'} ( z )}{q ( z )} d z = (単位円内の q (z) の零点の数) - (単位円内の極の数)$ です。 $q (z) = \sum_{j} t_{j} z^{j}$ に負の $j$ があれば $z = 0$ に極があり、その位数を引きます。 $W$ は整数なので、ギャップが開いたまま（ $q$ が原点を通らないまま）パラメータを連続的に変えても変わりません。変わるのは、 $q$ の零点が単位円を横切る瞬間、すなわちある $k$ で $q (k) = 0$ となりギャップが閉じるときだけです。

端状態との対応は、極端な場合で確かめられます。基本の SSH 模型 $q (z) = v + w z$ （ $v$ : 単位胞内 $A_{n}$ – $B_{n}$ 、 $w$ : 単位胞間 $B_{n}$ – $A_{n + 1}$ ）で $v = 0$ とすると、零点 $z = 0$ が単位円内にあって $W = 1$ です。このとき鎖は $B_{n}$ – $A_{n + 1}$ の 2 量体に分かれ、左端の $A_{1}$ と右端の $B_{N}$ がどこともつながらずに取り残されるので、それぞれの端にエネルギー 0 の状態が 1 つずつできます。 $w = 0$ なら $W = 0$ で、すべてのサイトが単位胞内で対をつくり、端状態はありません。ギャップを閉じずに変形しても $W$ も端のゼロモードの数も変わらないので、一般に「ギャップが開いた開いた鎖の片端には $∣ W ∣$ 個のゼロエネルギー端状態がある」（バルク・エッジ対応）が成り立ちます。 $W$ の符号は $q$ を $h_{B A}$ ととるか $h_{A B}$ ととるかの流儀で反転しますが、 $∣ W ∣$ は流儀によりません。

手順

ホッピングが A–B 間だけであること（ $h (k)$ の対角成分が 0）を確かめ、非対角成分 $q (k) = \sum_{j} t_{j} e^{ij k}$ を書く
$z = e^{ik}$ と置き、 $q (z) = \sum_{j} t_{j} z^{j}$ を $z^{- m} P (z)$ （ $P$ は多項式、 $m \geq 0$ は $z = 0$ の極の位数）の形にする
$P (z)$ の零点を求め、単位円 $∣ z ∣ = 1$ 上に零点がない（ギャップが開いている）ことを確かめる。零点が求めにくければ、解と係数の関係で絶対値の積などを使う
$W = (単位円内の P の零点の数（重複度込み）) - m$ を計算する
開いた鎖の片端あたりのゼロエネルギー端状態の数を $∣ W ∣$ と判定する

例題

1 次元の 2 副格子模型 $H = n \sum [t_{0} c_{n B}^{†} c_{n A} + t_{1} c_{n B}^{†} c_{n + 1, A} + t_{2} c_{n B}^{†} c_{n + 2, A} + (エルミート共役)]$ を考える。ここで $t_{0} = 1$ 、 $t_{1} = 1$ 、 $t_{2} = 3$ （ある単位のエネルギー）で、フーリエ変換 $c_{n X} = \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik n} c_{k X}$ によるブロッホ・ハミルトニアンの非対角成分を $q (k) = ⟨ B ∣ h (k) ∣ A ⟩ = t_{0} + t_{1} e^{ik} + t_{2} e^{2 ik}$ とする。巻き付き数 $W = \frac{1}{2 π i} \oint_{0}^{2 π} \frac{d}{d k} lo g q (k) d k$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: ホッピングは A–B 間だけで、 $q (k) = 1 + e^{ik} + 3 e^{2 ik}$ 。

手順 2: $z = e^{ik}$ とおくと $q (z) = 3 z^{2} + z + 1$ 。負のべきはないので $m = 0$ （極なし）。

手順 3: $3 z^{2} + z + 1 = 0$ の判別式は $1 - 12 = - 11 < 0$ なので、2 つの零点 $z_{1}, z_{2}$ は互いに共役な複素数で $∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣$ 。解と係数の関係から $z_{1} z_{2} = \frac{1}{3}$ 、よって $∣ z_{1} ∣^{2} = \frac{1}{3}$ 、 $∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣ = \frac{1}{3} \neq = 1$ 。単位円上に零点はなく、ギャップは開いている。

手順 4: 2 つの零点はともに単位円内なので $W = 2 - 0 = 2$ 。

手順 5: 開いた鎖の片端あたり 2 個のゼロエネルギー端状態がある（ $t_{0} = t_{1} = 0$ の極限では、左端の $A_{1}, A_{2}$ が取り残されることからも確かめられる）。

答え: $2$

よくある誤り

$q (k) = 0$ となる実数 $k$ の個数を数えて巻き付き数としてしまう誤り。ギャップが開いていれば実数の $k$ で $q (k) = 0$ となることはない。正しくは $z = e^{ik}$ とおいた $q (z)$ の複素数の零点のうち $∣ z ∣ < 1$ のものを数える
$q$ に $e^{- ik}$ の項があるのに $z = 0$ の極を引き忘れる誤り。例えば $q (k) = v + w e^{- ik}$ は $q (z) = \frac{v z + w}{z}$ で、零点 $- w / v$ と 1 位の極 $z = 0$ があるので、正しくは $∣ w ∣ > ∣ v ∣$ で $W = 0 - 1 = - 1$ 、 $∣ w ∣ < ∣ v ∣$ で $W = 1 - 1 = 0$
単位円上に零点がある（ギャップが閉じている）場合にも $W$ を決めてしまう誤り。例えば $q (z) = 1 + z$ は $z = - 1$ （ $k = π$ ）で 0 になり、エネルギー $\pm ∣ q ∣$ が 0 で接する。このとき巻き付き数は定義されず、 $W$ が変わる相の境界である
端状態の数を鎖全体で $∣ W ∣$ 個とする誤り。バルク・エッジ対応が言うのは、正しくは片端あたり $∣ W ∣$ 個（左端は A、右端は B の副格子に局在）で、両端を合わせると $2∣ W ∣$ 個のゼロエネルギー状態がある

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
単位胞 $n$ （ $n$ は整数、格子定数 $1$ ）ごとに副格子 A, B のサイトをもつ 1 次元の鎖を考える。スピンのないフェルミ粒子のハミルトニアンは
$H = n \sum (t_{1} c_{A, n}^{†} c_{B, n} + t_{2} c_{A, n}^{†} c_{B, n + 1} + t_{3} c_{A, n}^{†} c_{B, n + 2} + h.c.)$
で、ホッピングは $t_{1} = 1$ , $t_{2} = 2$ , $t_{3} = 4$ （ある単位で測った実数）である。周期境界条件のもとで $c_{X, n} = \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik n} c_{X, k}$ （ $X = A, B$ ）とフーリエ変換すると $H = \sum_{k} (c_{A, k}^{†} c_{B, k}^{†}) (0 q (k)^{*} q (k) 0) (c_{A, k} c_{B, k})$ の形になる。
この模型の巻き付き数
$W = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} \frac{d}{d k} lo g q (k) d k$
を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
スピンを持たないフェルミ粒子の 1 次元鎖を考える。単位胞 $n$ （ $n = 1, 2, \dots, N$ ）には副格子 A, B のサイトが 1 つずつあり、それぞれの消滅演算子を $a_{n}, b_{n}$ とする。周期境界条件 $a_{n + N} = a_{n}, b_{n + N} = b_{n}$ を課し、ハミルトニアンを
$H = n = 1 \sum N [v a_{n}^{†} b_{n} + w_{1} a_{n + 1}^{†} b_{n} + w_{2} a_{n + 2}^{†} b_{n} + h.c.]$
とする。ホッピング振幅は実数で、 $v = \frac{1}{2}$ , $w_{1} = 1$ , $w_{2} = 1$ とする（化学ポテンシャル・オンサイトポテンシャルはない）。
フーリエ変換を $a_{n} = \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik n} a_{k}$ , $b_{n} = \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik n} b_{k}$ （ $k = 2 π m / N$ , 格子定数を 1 とする）で定め、
$H = k \sum (a_{k}^{†} b_{k}^{†}) h (k) (a_{k} b_{k})$
と書く。 $h (k)$ の $(B, A)$ 成分（ $b_{k}^{†} a_{k}$ の係数）を $q (k)$ とし、巻き付き数を
$W = \frac{1}{2 π i} \int_{- π}^{π} d k \frac{d}{d k} lo g q (k)$
で定義する（ $N \to \infty$ で $k$ は連続とみなす）。このとき $W$ の値を求めよ。