小さい系の厳密対角化（ハバード模型・ハイゼンベルク模型）

2〜4 サイトのハバード模型やハイゼンベルク模型について、粒子数・ $S^{z}$ ・運動量などの保存量でヒルベルト空間を分け、フェルミオンの符号に注意してハミルトニアン行列を作り、基底エネルギーや二重占有数・スピン相関などの期待値を求められる

前提

第二量子化と生成消滅演算子（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
2 つのスピンの結合（一重項と三重項）（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

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算数中学高校大学大学院

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角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
2 つのスピンの結合（一重項と三重項）（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

説明

ハバード模型やハイゼンベルク模型は多体の模型なので一般には解けませんが、サイト数が 2〜4 程度ならヒルベルト空間は有限次元で小さく、ハミルトニアンを行列として書いて対角化すれば厳密な答えが得られます。この技能では、粒子数・ $S^{z}$ ・運動量（並進）や鏡映などの保存量でヒルベルト空間を小さなブロックに分け、フェルミオンの符号に注意して行列要素を作り、基底エネルギー、二重占有数 $⟨ n_{i ↑} n_{i ↓} ⟩$ 、スピン相関 $⟨ S_{i} \cdot S_{j} ⟩$ などを求めます。強相関系の直観を得たり、近似理論（摂動・平均場）の結果を検証したりするのに使います。

なぜそうしてよいのか

ハミルトニアン $H$ と交換する演算子 $Q$ （全粒子数 $N = \sum_{iσ} n_{iσ}$ 、全スピンの $z$ 成分 $S^{z} = \frac{1}{2} \sum_{i} (n_{i ↑} - n_{i ↓})$ など）があれば、 $Q$ の固有値 $q$ の状態に $H$ を作用させても固有値は $q$ のままです（ $Q H ∣ ψ ⟩ = H Q ∣ ψ ⟩ = q H ∣ ψ ⟩$ ）。したがって $Q$ の固有状態を基底にとると $H$ の行列は異なる $q$ の間の要素が 0 になり、ブロック対角になります。例えば 2 サイトのハバード模型の全空間は $4^{2} = 16$ 次元ですが、 $N = 2$ 、 $S^{z} = 0$ のブロックは 4 次元しかありません。さらにサイトの入れかえなどの対称性で分ければ 2 次元以下になり、手で解けます。

フェルミオンでは状態 $c_{iσ}^{†} c_{j σ^{'}}^{†} ∣0 ⟩$ の符号が演算子の並べ方で変わります（ $c_{j σ^{'}}^{†} c_{iσ}^{†} = - c_{iσ}^{†} c_{j σ^{'}}^{†}$ ）。そこで、まず生成演算子の並べ方の約束（例えば左から $1 ↑, 1 ↓, 2 ↑, 2 ↓, \dots$ の順）を決めて基底を定義し、ホッピング $c_{iσ}^{†} c_{j σ}$ を作用させた結果を反交換関係で並べ直して、約束どおりの順の状態の何倍かとして読み取ります。並べ直しで飛び越えた演算子の個数だけ $- 1$ がかかります。この符号を一貫して扱えば行列はエルミートになり、正しい固有値が得られます。ハイゼンベルク模型 $J \sum S_{i} \cdot S_{j}$ では、 $S_{i} \cdot S_{j} = S_{i}^{z} S_{j}^{z} + \frac{1}{2} (S_{i}^{+} S_{j}^{-} + S_{i}^{-} S_{j}^{+})$ と書けば、各サイトの $↑↓$ を並べた状態に対して同じ手順で行列が作れます（スピン演算子は異なるサイト間で交換するので、この符号の問題はありません）。

得られた固有ベクトルを使えば、どんな物理量も $⟨ ψ ∣ O ∣ ψ ⟩$ として計算できます。

手順

生成演算子の並べ方の約束（例: $1 ↑, 1 ↓, 2 ↑, 2 ↓$ の順）を決め、この順に並べた積を $∣0 ⟩$ に作用させた状態を基底とする
保存量（粒子数 $N$ 、 $S^{z}$ 、必要なら運動量や鏡映）の値を指定してブロックを選び、その値をもつ基底状態をすべて書き出す
$H$ を各基底状態に作用させ、反交換関係で演算子を約束の順に並べ直して、飛び越えた個数ぶんの符号 $(- 1)$ を付けて行列要素を読み取る（行列がエルミートになることを確かめる）
サイトの入れかえなどの対称性で、さらに対称・反対称の組み合わせに分けて行列を小さくしてから、固有方程式 $det (H - E) = 0$ を解いて固有値を求める
最低の固有値を基底エネルギーとし、その固有ベクトルを規格化して $⟨ n_{i ↑} n_{i ↓} ⟩$ や $⟨ S_{i} \cdot S_{j} ⟩$ などの期待値を計算する

例題

2 サイトのハバード模型 $H = - t σ =↑, ↓ \sum (c_{1 σ}^{†} c_{2 σ} + c_{2 σ}^{†} c_{1 σ}) + U i = 1, 2 \sum n_{i ↑} n_{i ↓}$ （ $t > 0$ 、 $U > 0$ 、 $n_{iσ} = c_{iσ}^{†} c_{iσ}$ 、 $c_{iσ}$ はフェルミオンの消滅演算子）を考える。粒子数 $N = 2$ 、全スピンの $z$ 成分 $S^{z} = 0$ の状態の中での最低エネルギー（基底エネルギー）を $t, U$ で表せ。

例題の解答

手順 1: 並べ方の約束を $1 ↑, 1 ↓, 2 ↑, 2 ↓$ の順とする。

手順 2: $N = 2$ 、 $S^{z} = 0$ の基底は 4 つ。 $∣1 ⟩ = c_{1 ↑}^{†} c_{1 ↓}^{†} ∣0 ⟩, ∣2 ⟩ = c_{2 ↑}^{†} c_{2 ↓}^{†} ∣0 ⟩, ∣3 ⟩ = c_{1 ↑}^{†} c_{2 ↓}^{†} ∣0 ⟩, ∣4 ⟩ = c_{1 ↓}^{†} c_{2 ↑}^{†} ∣0 ⟩$

手順 3: 相互作用項は $∣1 ⟩, ∣2 ⟩$ に $U$ を与え、 $∣3 ⟩, ∣4 ⟩$ には 0。ホッピングを $∣3 ⟩$ に作用させる。 $c_{1 ↓}^{†} c_{2 ↓} ∣3 ⟩ = c_{1 ↓}^{†} c_{2 ↓} c_{1 ↑}^{†} c_{2 ↓}^{†} ∣0 ⟩ = - c_{1 ↓}^{†} c_{1 ↑}^{†} ∣0 ⟩ = + c_{1 ↑}^{†} c_{1 ↓}^{†} ∣0 ⟩ = ∣1 ⟩$ 、 $c_{2 ↑}^{†} c_{1 ↑} ∣3 ⟩ = c_{2 ↑}^{†} c_{2 ↓}^{†} ∣0 ⟩ = ∣2 ⟩$ 。 $∣4 ⟩$ には $c_{1 ↑}^{†} c_{2 ↑} ∣4 ⟩ = c_{1 ↑}^{†} c_{2 ↑} c_{1 ↓}^{†} c_{2 ↑}^{†} ∣0 ⟩ = - c_{1 ↑}^{†} c_{1 ↓}^{†} c_{2 ↑} c_{2 ↑}^{†} ∣0 ⟩ = - ∣1 ⟩$ 、 $c_{2 ↓}^{†} c_{1 ↓} ∣4 ⟩ = c_{2 ↓}^{†} c_{2 ↑}^{†} ∣0 ⟩ = - ∣2 ⟩$ 。よって $H ∣3 ⟩ = - t (∣1 ⟩ + ∣2 ⟩)$ 、 $H ∣4 ⟩ = + t (∣1 ⟩ + ∣2 ⟩)$ で、基底 $(∣1 ⟩, ∣2 ⟩, ∣3 ⟩, ∣4 ⟩)$ での行列は $H = U 0 - t t 0 U - t t - t - t 00 t t 00$ （対称行列になっている）。

手順 4: $∣ d ⟩ = \frac{1}{2} (∣1 ⟩ + ∣2 ⟩)$ 、 $∣ s ⟩ = \frac{1}{2} (∣3 ⟩ - ∣4 ⟩)$ とおくと $H ∣ s ⟩ = - 2 t ∣ d ⟩$ 、 $H ∣ d ⟩ = U ∣ d ⟩ - 2 t ∣ s ⟩$ 。残りの $\frac{1}{2} (∣1 ⟩ - ∣2 ⟩)$ は固有値 $U$ 、 $\frac{1}{2} (∣3 ⟩ + ∣4 ⟩)$ は固有値 $0$ をもつ。 $(∣ d ⟩, ∣ s ⟩)$ のブロック $(U - 2 t - 2 t 0)$ の固有方程式 $E (E - U) - 4 t^{2} = 0$ から $E = \frac{U \pm U ^{2} + 16 t ^{2}}{2}$ 。

手順 5: 4 つの固有値 $U, 0, \frac{U \pm U ^{2} + 16 t ^{2}}{2}$ のうち最低は $E_{0} = \frac{U - U ^{2} + 16 t ^{2}}{2}$ （ $< 0$ ）。 $U ≫ t$ では $E_{0} \approx - 4 t^{2} / U$ となり、固有値 0 の三重項との差 $4 t^{2} / U$ が有効なハイゼンベルク結合に当たる。

答え: $\frac{U - U ^{2} + 16 t ^{2}}{2}$

よくある誤り

基底を $∣ ↑↓ ⟩$ のような図だけで扱い、ホッピングの行列要素をすべて $- t$ としてしまう誤り。正しくは並べ方の約束を決めて反交換関係で並べ直す。上の例では $⟨ 1∣ H ∣4 ⟩ = + t$ であり、符号を誤るとどの組み合わせが一重項（ $\frac{1}{2} (∣3 ⟩ - ∣4 ⟩) = \frac{1}{2} (c_{1 ↑}^{†} c_{2 ↓}^{†} - c_{1 ↓}^{†} c_{2 ↑}^{†}) ∣0 ⟩$ ）かを取り違え、3 サイト以上の環では固有値そのものも変わる
$⟨ i ∣ H ∣ j ⟩$ と $⟨ j ∣ H ∣ i ⟩$ を別々に計算して符号が食い違ったまま対角化する誤り。 $H$ はエルミートなので、正しくは $⟨ i ∣ H ∣ j ⟩ = ⟨ j ∣ H ∣ i ⟩^{*}$ が成り立つように一貫した約束で計算する
保存量で分けずに 16 次元の行列を作ろうとしたり、異なる $S^{z}$ の状態の間に行列要素を入れたりする誤り。 $[H, S^{z}] = 0$ なので、正しくは $S^{z}$ の異なる状態どうしの行列要素は 0 で、ブロックごとに対角化すればよい
$U$ の項で二重占有のない状態にもエネルギーを与える誤り。 $U n_{i ↑} n_{i ↓}$ は同じサイトに $↑$ と $↓$ が両方いるときだけ $U$ を与えるので、上の例では $∣3 ⟩, ∣4 ⟩$ の対角要素は 0

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
2 サイト（サイト 1, 2）のハバード模型
$H = - t σ =↑, ↓ \sum (c_{1 σ}^{†} c_{2 σ} + c_{2 σ}^{†} c_{1 σ}) + U i = 1, 2 \sum n_{i ↑} n_{i ↓}$
を考える。ここで $c_{iσ}$ はフェルミ粒子の消滅演算子で、反交換関係 ${c_{iσ}, c_{j σ^{'}}^{†}} = δ_{ij} δ_{σ σ^{'}}$ , ${c_{iσ}, c_{j σ^{'}}} = 0$ を満たし、 $n_{iσ} = c_{iσ}^{†} c_{iσ}$ である。 $t = 2$ , $U = 6$ （エネルギーはある単位を 1 とした無次元量）とする。
電子数が 2（ $↑$ スピン 1 個と $↓$ スピン 1 個、すなわち $S_{tot}^{z} = 0$ ）の部分空間で $H$ を厳密に対角化したとき、その部分空間での最低エネルギー固有値を求めよ。答えは整数で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
3 つのサイト $j = 1, 2, 3$ が正三角形の頂点に並び、サイトの組 $(1, 2), (2, 3), (3, 1)$ がそれぞれ 1 本のボンドで結ばれた系（周期境界条件の 3 サイト環）を考える。ハミルトニアンを
$H = - t j = 1 \sum 3 σ =↑, ↓ \sum (c_{j + 1, σ}^{†} c_{j σ} + c_{j σ}^{†} c_{j + 1, σ}) + U j = 1 \sum 3 n_{j ↑} n_{j ↓} (c_{4 σ} \equiv c_{1 σ})$
とする（各ボンドは和の中でちょうど 1 回ずつ現れる）。ここで $c_{j σ}$ はサイト $j$ ・スピン $σ$ の電子（スピン $1/2$ のフェルミオン）の消滅演算子で、反交換関係 ${c_{iσ}, c_{j σ^{'}}^{†}} = δ_{ij} δ_{σ σ^{'}}$ を満たし、 $n_{j σ} = c_{j σ}^{†} c_{j σ}$ である。飛び移り積分は $t > 0$ （符号に注意）、オンサイト斥力は $U = 5 t$ とする。
電子数を 2 とし（全粒子数演算子の固有値が 2）、全スピンや $S^{z}$ は制限せず、電子数 2 のすべての状態の中でエネルギーが最低の固有状態を基底状態とする（この基底状態は縮退していない）。規格化した基底状態における全二重占有数
$D = ⟨ j = 1 \sum 3 n_{j ↑} n_{j ↓} ⟩$
を既約分数で求めよ。