多体系の量子論・物性理論の問題

スピン $1/2$ をもつ 1 個の粒子のハミルトニアンを、パウリ行列 ${\sigma }_z$ を用いて
$$H_0=-\frac{\Delta }{2}{\sigma }_z(\Delta >0)$$
とする。系は絶対零度にあり、基底状態 $|\uparrow ⟩$（${\sigma }_z|\uparrow ⟩=|\uparrow ⟩$）にある。時刻 $t$ に依存する外場 $f(t)$ による摂動 $H^{\prime }=-{\sigma }_{x}f(t)$ を加えたときの ${\sigma }_x$ の応答を考える。$\hslash$ はディラック定数とし、応答関数を久保公式
$$\chi (t)=\frac{i}{\hslash }\theta (t)⟨[{\sigma }_x(t),{\sigma }_x]⟩,{\sigma }_x(t)=e^{i{H}_{0}t/\hslash }{\sigma }_x{e}^{-i{H}_{0}t/\hslash }$$
で定義する（$⟨\cdots ⟩$ は基底状態での期待値、$\theta (t)$ は階段関数）。静的感受率
$${\chi }_0=\underset{\eta \to +0}{\lim }{\int }_0^{\infty }\chi (t)e^{-\eta t}dt$$
を $\Delta$ を用いて表せ。

$\hslash =k_B=1$ の単位系を使う。1 つのフェルミ粒子の準位だけからなる系
$$H=\xi c^{†}c$$
（$\{c,c^{†}\}=1$、$\xi$ は化学ポテンシャルから測ったエネルギーで実数）が温度 $T>0$ の熱平衡にある。$\beta =1/T$ とし、虚時間グリーン関数を
$$G(\tau )=-⟨T_{\tau }c(\tau )c^{†}(0)⟩,c(\tau )=e^{H\tau }c{e}^{-H\tau }(-\beta <\tau <\beta )$$
で定め、そのフーリエ変換を
$$G(i{\omega }_n)={\int }_0^{\beta }d\tau e^{i{\omega }_n\tau }G(\tau )$$
とする。ここで ${\omega }_n$ はフェルミ粒子の松原振動数で、${\omega }_n=(2n+1)\pi T$（$n$ は整数）と番号を付ける。

$\xi =\pi T$ のとき、$n=0$ の松原振動数 ${\omega }_0=\pi T$ における $G(i{\omega }_0)$ を $T$ を用いて表せ。答えは $a+bi$（$a,b$ は実数）の形にまとめよ。

$\hslash =k_B=1$ とし、温度 $T>0$、$\beta =1/T$ とする。フェルミ粒子の松原振動数 ${\omega }_n=(2n+1)\pi T$（$n$ はすべての整数）についての和
$$S=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{{\omega }_n^2+{\xi }^2}$$
を考える。ただし $\xi >0$ は実数である。

$\xi =T\log 3$ のとき、$S$ を $T$ を用いて表せ。

サイト数 $N$ の 1 次元格子（格子定数 $1$、周期境界条件 $c_{n+N}=c_n$）上のスピンをもたないフェルミ粒子を考える。ハミルトニアンは、最近接と第 2 近接のホッピングを含む強束縛模型
$$H=-t_1\sum _{n=1}^N\left(c_{n+1}^{†}{c}_n+c_n^{†}{c}_{n+1}\right)-t_2\sum _{n=1}^N\left(c_{n+2}^{†}{c}_n+c_n^{†}{c}_{n+2}\right)$$
で与えられる。ここで $c_n$ はサイト $n$ の消滅演算子で $\{c_n,c_m^{†}\}={\delta }_{nm}$ を満たし、$t_1$, $t_2$ は実数の定数である。フーリエ変換
$$c_n=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _k{e}^{ikn}{c}_k\left(k=\frac{2\pi m}{N},m=0,1,\dots ,N-1\right)$$
によって $H=\sum _k\epsilon (k)c_k^{†}{c}_k$ と書けるとき、バンドのエネルギー $\epsilon (k)$ を $t_1$, $t_2$, $k$ を用いて表せ。

$\hslash =k_B=1$ とする。BCS 模型で、ペアリング相互作用はフェルミ面からエネルギー ${\omega }_D$ 以内の電子の間にだけ一定の引力 $-V$（$V>0$）としてはたらき、その範囲でフェルミ面の状態密度（1 スピンあたり）は一定値 $N(0)$ とする。温度 $T$ でのギャップ方程式は、等方的な $s$ 波のギャップ $\Delta$ について
$$1=N(0)V{\int }_0^{{\omega }_D}d\xi \frac{\tanh \left(\frac{E}{2T}\right)}{E},E=\sqrt{{\xi }^2+{\Delta }^2}$$
である。

$N(0)V=\frac{1}{\log 4}$ のとき、絶対零度でのギャップ ${\Delta }_0$（$>0$）と ${\omega }_D$ の比 $\frac{{\Delta }_0}{{\omega }_D}$ を、弱結合近似を使わずにギャップ方程式を厳密に解いて求めよ。答えは既約分数で答えよ。