線形応答と久保公式

摂動 $H^{'} = - B f (t)$ に対する $A$ の応答関数 $χ_{A B} (t) = \frac{i}{ℏ} θ (t) ⟨[A (t), B]⟩$ を計算し、スペクトル表示から $χ (ω)$ の実部・虚部や静的感受率を求められる

前提

定常状態の重ね合わせと時間発展（大学物理量子力学（1 次元の問題））
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

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算数中学高校大学大学院

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説明

熱平衡にある量子系に、外場 $f (t)$ を弱くかけたとき（ハミルトニアンに $H^{'} = - B f (t)$ を加えたとき）、物理量 $A$ の期待値がどれだけ変化するかを、外場の 1 次の範囲で求めるのが線形応答の理論です。久保公式は、その応答の比例係数（応答関数） $χ_{A B} (t)$ を、外場をかける前の平衡状態での交換子の期待値 $\frac{i}{ℏ} θ (t) ⟨[A (t), B]⟩$ で与えます。この技能では、エネルギー固有状態を使ったスペクトル表示によって $χ (ω)$ を計算し、その実部・虚部（エネルギー吸収）や、ゆっくりした外場に対する静的感受率 $χ (ω = 0)$ を求められるようになります。磁化率・誘電率・電気伝導度など、実験で測る応答をミクロな理論から計算するときの基本です。

なぜそうしてよいのか

外場がないときのハミルトニアンを $H_{0}$ （固有値 $E_{n}$ 、固有状態 $∣ n ⟩$ ）、平衡状態の密度演算子を $ρ_{0} = e^{- β H_{0}} / Z$ （ $β = 1/ k_{B} T$ 、各状態の確率 $p_{n} = e^{- β E_{n}} / Z$ ）とします。 $H_{0}$ による時間発展をくくり出すため、演算子を $A (t) \equiv e^{i H_{0} t /ℏ} A e^{- i H_{0} t /ℏ}$ と書きます（ $⟨ n ∣ A (t) ∣ m ⟩ = A_{nm} e^{i (E_{n} - E_{m}) t /ℏ}$ で、定常状態の重ね合わせの位相因子 $e^{- i E_{n} t /ℏ}$ をそのまま演算子側に移したもの）。この表示で密度演算子 $ρ ~ (t) = e^{i H_{0} t /ℏ} ρ (t) e^{- i H_{0} t /ℏ}$ はフォン・ノイマン方程式 $i ℏ ρ ˙ = [H, ρ]$ から $i ℏ ρ ~ ˙ = [- B (t) f (t), ρ ~]$ に従います。遠い過去に $ρ = ρ_{0}$ だったとして $f$ の 1 次まで積分すると $ρ ~ (t) ≃ ρ_{0} + \frac{i}{ℏ} \int_{- \infty}^{t} f (t^{'}) [B (t^{'}), ρ_{0}] d t^{'}$ 。これを $⟨ A ⟩ (t) = Tr [A (t) ρ ~ (t)]$ に入れ、トレースの巡回性 $Tr (A [B, ρ_{0}]) = Tr (ρ_{0} [A, B])$ を使うと
$δ ⟨ A ⟩ (t) = \int_{- \infty}^{\infty} χ_{A B} (t - t^{'}) f (t^{'}) d t^{'}, χ_{A B} (t) = \frac{i}{ℏ} θ (t) ⟨[A (t), B] ⟩_{0}$
となります（ $θ (t)$ は $t > 0$ で 1、 $t < 0$ で 0 の階段関数で、原因より前に結果が出ないことを表します。平衡状態は時間並進で不変なので $t - t^{'}$ だけによる）。

$⟨[A (t), B] ⟩_{0} = \sum_{n, m} p_{n} (A_{nm} B_{mn} e^{i ω_{nm} t} - B_{nm} A_{mn} e^{- i ω_{nm} t})$ （ $ω_{nm} = (E_{n} - E_{m}) /ℏ$ ）なので、フーリエ変換 $χ (ω) = \int_{0}^{\infty} χ (t) e^{iω t - η t} d t$ （ $η \to + 0$ は積分を収束させる因子）は $\int_{0}^{\infty} e^{i (ω + ω_{nm} + i η) t} d t = \frac{i}{ω + ω _{nm} + i η}$ を使って計算でき、2 項目の添字 $n, m$ を入れかえてまとめると
$χ_{A B} (ω) = \frac{1}{ℏ} n, m \sum \frac{( p _{m} - p _{n} ) A _{nm} B _{mn}}{ω + ω _{nm} + i η}$
となります（スペクトル表示）。分母はエネルギー差 $ℏ ω = E_{m} - E_{n}$ のところで共鳴します。

$η \to + 0$ では $\frac{1}{x + i η} = P \frac{1}{x} - iπ δ (x)$ （P は主値）なので、 $A = B^{†}$ のとき、実部は主値の和、虚部は $Im χ (ω) = \frac{π}{ℏ} \sum_{n, m} (p_{n} - p_{m}) ∣ A_{nm} ∣^{2} δ (ω + ω_{nm})$ というデルタ関数の和になります。虚部は外場からのエネルギー吸収を表し、 $ω > 0$ で非負です。静的感受率は $ω = 0$ とおいた値で、エネルギー差が 0 でない項は $χ (0) = \sum_{E_{n} \neq = E_{m}} \frac{( p _{n} - p _{m} ) A _{nm} B _{mn}}{E _{m} - E _{n}}$ になります。

手順

$H_{0}$ の固有値 $E_{n}$ と固有状態 $∣ n ⟩$ 、平衡分布 $p_{n} = e^{- β E_{n}} / Z$ を求める
演算子 $A$ , $B$ の行列要素 $A_{nm} = ⟨ n ∣ A ∣ m ⟩$ , $B_{mn}$ を求め、0 でない組 $(n, m)$ を挙げる
スペクトル表示 $χ_{A B} (ω) = \frac{1}{ℏ} n, m \sum \frac{( p _{m} - p _{n} ) A _{nm} B _{mn}}{ω + ( E _{n} - E _{m} ) /ℏ + i η}$ に代入する
必要に応じて $\frac{1}{x + i η} = P \frac{1}{x} - iπ δ (x)$ で実部・虚部に分ける
静的感受率は $ω = 0$ とおいて計算する（ $p_{n} - p_{m}$ を $tanh$ などの形に整理する）

例題

2 準位系のハミルトニアンを $H_{0} = Δ∣1 ⟩ ⟨ 1∣$ （基底状態 $∣0 ⟩$ のエネルギー 0、励起状態 $∣1 ⟩$ のエネルギー $Δ > 0$ ）とし、系は逆温度 $β = 1/ (k_{B} T)$ の熱平衡にある。演算子 $X = ∣0 ⟩ ⟨ 1∣ + ∣1 ⟩ ⟨ 0∣$ に対して摂動 $H^{'} = - X f (t)$ を加えるとき、 $X$ 自身の応答の静的感受率 $χ_{X X} (ω = 0)$ （ $χ_{X X} (t) = \frac{i}{ℏ} θ (t) ⟨[X (t), X]⟩$ のフーリエ変換 $χ_{X X} (ω) = \int χ_{X X} (t) e^{iω t} d t$ の $ω = 0$ での値）を、 $Δ$ と $β$ を用いて求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $E_{0} = 0$ , $E_{1} = Δ$ 。 $Z = 1 + e^{- β Δ}$ , $p_{0} = \frac{1}{1 + e ^{- β Δ}}$ , $p_{1} = \frac{e ^{- β Δ}}{1 + e ^{- β Δ}}$ 。

【手順 2】 $X_{01} = X_{10} = 1$ 、 $X_{00} = X_{11} = 0$ 。0 でない組は $(n, m) = (0, 1), (1, 0)$ で、どちらも $X_{nm} X_{mn} = 1$ 。

【手順 3】
$χ_{X X} (ω) = \frac{1}{ℏ} [\frac{p _{1} - p _{0}}{ω - Δ/ℏ + i η} + \frac{p _{0} - p _{1}}{ω + Δ/ℏ + i η}] = \frac{p _{0} - p _{1}}{ℏ} [\frac{1}{ω + Δ/ℏ + i η} - \frac{1}{ω - Δ/ℏ + i η}] .$

【手順 4】（参考）虚部は $Im χ_{X X} (ω) = \frac{π ( p _{0} - p _{1} )}{ℏ} [δ (ω - Δ/ℏ) - δ (ω + Δ/ℏ)]$ で、 $ℏ ω = Δ$ の吸収を表す。

【手順 5】 $ω = 0$ では分母が 0 にならないので $η \to 0$ としてよく、
$χ_{X X} (0) = \frac{p _{0} - p _{1}}{ℏ} [\frac{ℏ}{Δ} + \frac{ℏ}{Δ}] = \frac{2 ( p _{0} - p _{1} )}{Δ} = \frac{2}{Δ} \cdot \frac{1 - e ^{- β Δ}}{1 + e ^{- β Δ}} = \frac{2}{Δ} tanh \frac{β Δ}{2} .$
（ $T \to 0$ では $2/Δ$ 。これは基底状態の 2 次摂動エネルギー $- f^{2} /Δ$ から $⟨ X ⟩ = - d E / df = 2 f /Δ$ となることと一致する。）

答え: $\frac{2}{Δ} tanh \frac{β Δ}{2}$

よくある誤り

応答関数の符号を逆にして $χ_{A B} (t) = - \frac{i}{ℏ} θ (t) ⟨[A (t), B]⟩$ としてしまう誤り。摂動が $H^{'} = - B f (t)$ （マイナス符号つき）のときは $χ_{A B} (t) = + \frac{i}{ℏ} θ (t) ⟨[A (t), B]⟩$ で、静的感受率は正（例： $χ_{X X} (0) = \frac{2}{Δ} tanh \frac{β Δ}{2} > 0$ ）。 $H^{'} = + B f$ と定義する流儀では符号が変わるので、どちらの定義かを確認する。
階段関数 $θ (t)$ を落としてフーリエ変換を $- \infty$ から積分してしまう誤り。因果律から $χ (t) = 0$ （ $t < 0$ ）で、 $\int_{0}^{\infty} e^{i (ω + ω_{nm} + i η) t} d t = \frac{i}{ω + ω _{nm} + i η}$ の $+ i η$ がこれを表す。これを落とすと虚部（吸収）のデルタ関数が出てこない。
スペクトル表示の分子を $p_{n}$ だけにしてしまう誤り。交換子の 2 つの項から $(p_{m} - p_{n})$ という占有確率の差が出る。2 準位系では $p_{0} - p_{1} = tanh \frac{β Δ}{2}$ で、高温で応答が弱くなるのはこの差が小さくなるため。
$ω_{nm}$ の定義と符号を混同して共鳴位置を間違える誤り。 $⟨ n ∣ A (t) ∣ m ⟩ = A_{nm} e^{i (E_{n} - E_{m}) t /ℏ}$ なので $ω_{nm} = (E_{n} - E_{m}) /ℏ$ 、分母は $ω + ω_{nm} + i η$ で、 $ℏ ω = E_{m} - E_{n}$ で共鳴する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
スピン $1/2$ をもつ 1 個の粒子のハミルトニアンを、パウリ行列 $σ_{z}$ を用いて
$H_{0} = - \frac{Δ}{2} σ_{z} (Δ > 0)$
とする。系は絶対零度にあり、基底状態 $∣ ↑ ⟩$ （ $σ_{z} ∣ ↑ ⟩ = ∣ ↑ ⟩$ ）にある。時刻 $t$ に依存する外場 $f (t)$ による摂動 $H^{'} = - σ_{x} f (t)$ を加えたときの $σ_{x}$ の応答を考える。 $ℏ$ はディラック定数とし、応答関数を久保公式
$χ (t) = \frac{i}{ℏ} θ (t) ⟨[σ_{x} (t), σ_{x}]⟩, σ_{x} (t) = e^{i H_{0} t /ℏ} σ_{x} e^{- i H_{0} t /ℏ}$
で定義する（ $⟨ \dots ⟩$ は基底状態での期待値、 $θ (t)$ は階段関数）。静的感受率
$χ_{0} = η \to + 0 lim \int_{0}^{\infty} χ (t) e^{- η t} d t$
を $Δ$ を用いて表せ。

この技能の次に学べること

揺動散逸定理（大学院物理多体系の量子論・物性理論）