揺動散逸定理

相関関数のスペクトル $S (ω)$ と応答関数の虚部の関係 $S (ω) = \frac{2ℏ}{1 - e ^{- β ℏ ω}} χ^{''} (ω)$ （古典極限では $\frac{2 k _{B} T}{ω} χ^{''}$ ）を使い、ゆらぎの大きさや散逸率を一方から他方へ求められる

前提

線形応答と久保公式（大学院物理多体系の量子論・物性理論）

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算数中学高校大学大学院

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線形応答と久保公式（大学院物理多体系の量子論・物性理論）

説明

熱平衡にある系の物理量 $A$ は、外から何もしなくても絶えずゆらいでいます。一方、外力 $f$ で系を揺すると、その一部はエネルギーの吸収（散逸）として系に取り込まれ、その大きさは応答関数の虚部 $χ^{''} (ω)$ で決まります。揺動散逸定理は、この「自発的なゆらぎのスペクトル $S (ω)$ 」と「散逸を表す $χ^{''} (ω)$ 」が温度だけを含む普遍的な因子で結ばれていることを述べるもので、 $S (ω) = \frac{2ℏ}{1 - e ^{- β ℏ ω}} χ^{''} (ω)$ （古典極限 $ℏ ω ≪ k_{B} T$ では $\frac{2 k _{B} T}{ω} χ^{''} (ω)$ ）です。抵抗の熱雑音（ジョンソン雑音）、ブラウン運動の揺らぎと摩擦、中性子散乱の強度と磁化率の関係などで、一方を測って他方を求めるのに使います。

なぜそうしてよいのか

記号を決めます。 $A$ はエルミート演算子で $⟨ A ⟩ = 0$ 、 $A (t) = e^{i H t /ℏ} A e^{- i H t /ℏ}$ 、 $⟨ \dots ⟩$ はカノニカル分布 $e^{- β H} / Z$ （ $β = 1/ k_{B} T$ ）での平均とします。フーリエ変換は $X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} d t e^{iω t} X (t)$ で、
$S (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} d t e^{iω t} ⟨ A (t) A (0)⟩, χ (t) = \frac{i}{ℏ} θ (t) ⟨[A (t), A (0)]⟩$
とします（摂動は $H^{'} = - A f (t)$ ）。 $H$ の固有状態 $∣ n ⟩$ （エネルギー $E_{n}$ ）で $⟨ A (t) A ⟩$ を書くと、 $⟨ A (t) A ⟩ = \frac{1}{Z} \sum_{n, m} e^{- β E_{n}} ∣ A_{nm} ∣^{2} e^{i (E_{n} - E_{m}) t /ℏ}$ なので $S (ω) = \frac{2 π}{Z} n, m \sum e^{- β E_{n}} ∣ A_{nm} ∣^{2} δ (ω - \frac{E _{m} - E _{n}}{ℏ})$ です。 $S (ω)$ は「系がエネルギー $ℏ ω$ を受け取る遷移 $n \to m$ 」の重みを足したものです。 $S (- ω)$ では $n, m$ の役割が入れかわり、重みが $e^{- β E_{m}} = e^{- β E_{n}} e^{- β ℏ ω}$ になるので、 $S (- ω) = e^{- β ℏ ω} S (ω)$ が成り立ちます（詳細つり合い）。上の状態ほど占有されにくいので、エネルギーを放出する過程はボルツマン因子の分だけ弱いのです。

一方、久保公式のスペクトル表示から、 $χ^{''} (ω) = Im χ (ω)$ は交換子のフーリエ変換の $\frac{1}{2ℏ}$ 倍です: $χ^{''} (ω) = \frac{1}{2ℏ} \int d t e^{iω t} ⟨[A (t), A]⟩$ 。 $\int d t e^{iω t} ⟨ A A (t)⟩ = S (- ω)$ に注意すると $χ^{''} (ω) = \frac{1}{2ℏ} [S (ω) - S (- ω)] = \frac{1}{2ℏ} (1 - e^{- β ℏ ω}) S (ω)$ となり、これを $S$ について解いたのが揺動散逸定理 $S (ω) = \frac{2ℏ}{1 - e ^{- β ℏ ω}} χ^{''} (ω)$ です。 $χ^{''}$ は吸収と放出の差（正味の散逸）、 $S$ は吸収の側だけを見たゆらぎで、その比を決めるのが占有の偏り $1 - e^{- β ℏ ω}$ です。

$∣ℏ ω ∣ ≪ k_{B} T$ では $1 - e^{- β ℏ ω} \approx β ℏ ω$ なので $S (ω) \approx \frac{2 k _{B} T}{ω} χ^{''} (ω)$ となり、 $ℏ$ が消えて古典系の式になります（ $χ^{''}$ は $ω$ の奇関数なので $χ^{''} / ω$ は偶関数で、 $ω \to 0$ でも有限）。等時刻のゆらぎは $⟨ A^{2} ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{2 π} S (ω)$ で求まります。

手順

$S (ω)$ 、 $χ (ω)$ のフーリエ変換の流儀（ $e^{iω t}$ 、 $2 π$ の置き場所）と、摂動が $H^{'} = - A f (t)$ の形であることを確かめる
応答関数 $χ (ω)$ を求め（古典系なら運動方程式から $A (ω) = χ (ω) f (ω)$ を読む）、虚部 $χ^{''} (ω) = Im χ (ω)$ を取り出す
量子系なら $S (ω) = \frac{2ℏ}{1 - e ^{- β ℏ ω}} χ^{''} (ω)$ 、 $∣ℏ ω ∣ ≪ k_{B} T$ の古典系なら $S (ω) = \frac{2 k _{B} T}{ω} χ^{''} (ω)$ に代入する。逆に $S$ から $χ^{''} = \frac{1 - e ^{- β ℏ ω}}{2ℏ} S$ を求めてもよい
必要なら $⟨ A^{2} ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{2 π} S (ω)$ で等時刻のゆらぎを計算し、古典系では等分配則などで結果を確かめる

例題

質量 $m$ の粒子がばね定数 $k$ のばねと、速度に比例する抵抗（係数 $b > 0$ ）を受けながら 1 次元で運動し、温度 $T$ の熱平衡にある。外力 $f (t)$ を加えたときの運動方程式は $m x ¨ = - k x - b x ˙ + f (t)$ で、摂動は $H^{'} = - x f (t)$ と書ける。古典系として扱い（ボルツマン定数を $k_{B}$ とする）、位置のゆらぎのスペクトル $S (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} d t e^{iω t} ⟨ x (t) x (0)⟩$ の $ω \to 0$ の極限値 $S (0)$ を $k_{B}, T, b, k$ で表せ。

例題の解答

手順 1: フーリエ変換は $e^{iω t}$ の流儀で、 $x (t) = \int \frac{d ω}{2 π} e^{- iω t} x (ω)$ 。摂動は $H^{'} = - x f$ なので、 $x$ の $f$ への応答が $χ$ である。

手順 2: $\frac{d}{d t} \to - iω$ として運動方程式をフーリエ変換すると $(- m ω^{2}) x = - k x + ibω x + f$ 、つまり $χ (ω) = \frac{x ( ω )}{f ( ω )} = \frac{1}{k - m ω ^{2} - ibω}, χ^{''} (ω) = \frac{bω}{( k - m ω ^{2} ) ^{2} + b ^{2} ω ^{2}}$ （ $ω > 0$ で $χ^{''} > 0$ 、正の吸収になっている）。

手順 3: 古典極限の揺動散逸定理より $S (ω) = \frac{2 k _{B} T}{ω} χ^{''} (ω) = \frac{2 k _{B} T b}{( k - m ω ^{2} ) ^{2} + b ^{2} ω ^{2}}$ $ω \to 0$ とすると $S (0) = \frac{2 k _{B} T b}{k ^{2}}$ 。

手順 4（確認）: $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{2 π} S (ω) = k_{B} T \cdot \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{b d ω}{( k - m ω ^{2} ) ^{2} + b ^{2} ω ^{2}} = \frac{k _{B} T}{k}$ となり、等分配則 $\frac{1}{2} k ⟨ x^{2} ⟩ = \frac{1}{2} k_{B} T$ と一致する。

答え: $\frac{2 k _{B} T b}{k ^{2}}$

よくある誤り

$χ^{''}$ の代わりに実部 $χ^{'}$ や $∣ χ ∣^{2}$ を代入してしまう誤り。ゆらぎと結びつくのは散逸を表す虚部で、正しくは $S (ω) = \frac{2 k _{B} T}{ω} Im χ (ω)$ （上の例では $χ^{''} = \frac{bω}{( k - m ω ^{2} ) ^{2} + b ^{2} ω ^{2}}$ ）
量子系でも $S (ω)$ を $ω$ の偶関数と考え、 $S (- ω) = S (ω)$ としてしまう誤り。正しくは詳細つり合い $S (- ω) = e^{- β ℏ ω} S (ω)$ があり、 $T \to 0$ では $ω < 0$ （系がエネルギーを放出する側）の $S$ は 0 になる
$ℏ ω ≳ k_{B} T$ の領域でも古典式 $\frac{2 k _{B} T}{ω} χ^{''}$ を使う誤り。正しくは $\frac{2ℏ}{1 - e ^{- β ℏ ω}} χ^{''}$ を使い、 $T \to 0$ でも $ω > 0$ では $S (ω) \to 2ℏ χ^{''} (ω)$ という零点ゆらぎが残る
フーリエ変換の流儀を確かめずに係数を写し、 $2$ や $2 π$ の因子を落とす誤り。ここでの係数 $2ℏ$ は $S (ω) = \int d t e^{iω t} ⟨ A (t) A ⟩$ 、 $χ = \frac{i}{ℏ} θ (t) ⟨[A (t), A]⟩$ の流儀のもので、正しくは $⟨ A^{2} ⟩ = \int \frac{d ω}{2 π} S (ω)$ のように同じ流儀で逆変換する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
ハミルトニアン $H$ をもつ量子系が温度 $T$ の熱平衡にある。 $ℏ$ はディラック定数、 $k_{B}$ はボルツマン定数、 $β = 1/ (k_{B} T)$ とし、 $⟨ \dots ⟩$ は熱平衡での期待値を表す。エルミート演算子 $A$ （ $⟨ A ⟩ = 0$ とする）のハイゼンベルク表示を $A (t) = e^{i H t /ℏ} A e^{- i H t /ℏ}$ とし、ゆらぎのスペクトルを
$S (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} d t e^{iω t} ⟨ A (t) A (0)⟩$
で定める。また、摂動 $H^{'} (t) = - A f (t)$ に対する $A$ 自身の線形応答 $δ ⟨ A (t)⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} χ (t - t^{'}) f (t^{'})$ の応答関数を
$χ (t) = \frac{i}{ℏ} θ (t) ⟨[A (t), A (0)]⟩, χ (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} d t e^{iω t} χ (t) = χ^{'} (ω) + i χ^{''} (ω)$
（ $θ$ は階段関数、 $χ^{'}$ , $χ^{''}$ は実数）で定める。
ある角振動数 $ω_{0} > 0$ で $ℏ ω_{0} = k_{B} T lo g 3$ が成り立ち、そこでの応答関数の虚部が $χ^{''} (ω_{0}) = χ_{0}$ と測定された。揺動散逸定理を用いて $S (ω_{0})$ を $ℏ$ と $χ_{0}$ で表せ。