松原グリーン関数

虚時間グリーン関数 $G (τ) = - ⟨ T_{τ} c (τ) c^{†} (0)⟩$ を定義し、自由粒子の $G (i ω_{n}) = \frac{1}{i ω _{n} - ξ}$ と松原振動数（ボース $ω_{n} = 2 π n T$ ・フェルミ $ω_{n} = (2 n + 1) π T$ ）を求め、 $G (τ)$ との間のフーリエ変換ができる

前提

第二量子化と生成消滅演算子（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

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算数中学高校大学大学院

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気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
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カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）
三角関数の積分（数学III 積分法）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

説明

有限温度の多体系では、熱平均を計算するときに出てくる因子 $e^{- β (H - μ N)}$ を「虚数の時間の時間発展」とみなすと、ゼロ温度の摂動論とほぼ同じ形で計算が進められます。そのための基本の道具が、虚時間 $τ (- β < τ < β)$ の関数として定義する松原グリーン関数 $G (τ) = - ⟨ T_{τ} c (τ) c^{†} (0)⟩$ です。この技能では、自由粒子について $G (τ)$ を分布関数で表し、それが周期 $β$ の周期関数（ボース粒子）または反周期関数（フェルミ粒子）になることから、離散的な松原振動数 $ω_{n}$ でのフーリエ係数 $G (i ω_{n}) = \frac{1}{i ω _{n} - ξ}$ を求め、両者の間を行き来できるようになります。

なぜそうしてよいのか

ここでは $ℏ = k_{B} = 1$ 、 $β = 1/ T$ とし、 $K = H - μ N$ とおきます。虚時間の演算子を $c (τ) = e^{K τ} c e^{- K τ}$ 、熱平均を $⟨ O ⟩ = Tr (e^{- β K} O) / Tr e^{- β K}$ と定義し、虚時間順序積 $T_{τ}$ は $τ$ の大きい演算子を左に置き、フェルミ演算子を入れかえるたびに $- 1$ を付けるものとします。ボースで $ζ = + 1$ 、フェルミで $ζ = - 1$ と書くと、 $τ < 0$ では $T_{τ} c (τ) c^{†} = ζ c^{†} c (τ)$ なので $G (τ) = {- ⟨ c (τ) c^{†} ⟩ - ζ ⟨ c^{†} c (τ)⟩ (0 < τ < β) (- β < τ < 0)$ です。1 準位 $K = ξ c^{†} c$ （ $ξ = ε - μ$ ）なら、 $K c = c (K - ξ)$ より $c (τ) = e^{- ξ τ} c$ です。 $⟨ c^{†} c ⟩ = n$ （ボース分布またはフェルミ分布 $n = \frac{1}{e ^{β ξ} \mp 1}$ ）、 $⟨ c c^{†} ⟩ = 1 \pm n$ を使うと（以下、複号は上がボース、下がフェルミ）
$G (τ) = - e^{- ξ τ} (1 \pm n) (0 < τ < β), G (τ) = \mp e^{- ξ τ} n (- β < τ < 0)$
となります。つまりボースでは $τ < 0$ で $G = - e^{- ξ τ} n$ 、フェルミでは $G = + e^{- ξ τ} n$ です。

$- β < τ < 0$ に対して $G (τ + β)$ を計算すると、 $τ + β$ は $(0, β)$ にあり、分布関数の式から $1 \pm n = e^{β ξ} n$ なので $G (τ + β) = - e^{- ξ τ} e^{- β ξ} (1 \pm n) = - e^{- ξ τ} n$ です。これはボースでは $G (τ) = - e^{- ξ τ} n$ そのもの、フェルミでは $G (τ) = + e^{- ξ τ} n$ の符号を変えたものです。つまり $G (τ + β) = \pm G (τ)$ で、ボースなら周期 $β$ 、フェルミなら $G (τ + β) = - G (τ)$ の反周期関数です（一般の $H$ でもトレースの巡回性から同じ関係が成り立ちます）。周期 $2 β$ のフーリエ級数で展開すると、周期関数には $e^{- i ω_{n} τ}$ で $e^{i ω_{n} β} = 1$ 、すなわち $ω_{n} = 2 π n T$ の成分だけが、反周期関数には $e^{i ω_{n} β} = - 1$ 、すなわち $ω_{n} = (2 n + 1) π T$ の成分だけが現れます（ $n$ は整数）。これが松原振動数で、展開と係数は $G (τ) = T n = - \infty \sum \infty e^{- i ω_{n} τ} G (i ω_{n}), G (i ω_{n}) = \int_{0}^{β} d τ e^{i ω_{n} τ} G (τ)$ です（ $(- β, 0)$ の部分は周期性・反周期性で $(0, β)$ に移せるので、積分は $0$ から $β$ でよい）。

自由粒子の $G (τ)$ を代入すると、 $G (i ω_{n}) = - (1 \pm n) \int_{0}^{β} e^{(i ω_{n} - ξ) τ} d τ = - (1 \pm n) \frac{e ^{i ω_{n} β} e ^{- β ξ} - 1}{i ω _{n} - ξ}$ です。 $e^{i ω_{n} β} = \pm 1$ と $1 \pm n = \frac{1}{1 \mp e ^{- β ξ}}$ を使うと、分子は $- (1 \pm n) (\pm e^{- β ξ} - 1) = (1 \pm n) (1 \mp e^{- β ξ}) = 1$ となり、ボース・フェルミのどちらでも $G (i ω_{n}) = \frac{1}{i ω _{n} - ξ}$ という簡単な形になります（ボース粒子では分布が定義されるために $ξ > 0$ 、つまり $μ < ε$ が必要）。

手順

$ℏ = k_{B} = 1$ 、 $β = 1/ T$ とし、 $μ$ から測ったエネルギー $ξ = ε - μ$ を使って $c (τ) = e^{- ξ τ} c$ と書く
$τ$ の符号で場合分けして $G (τ)$ を分布関数 $n$ で表す: $0 < τ < β$ で $G (τ) = - e^{- ξ τ} (1 \pm n)$ 、 $- β < τ < 0$ で $G (τ) = \mp e^{- ξ τ} n$ （上がボース、下がフェルミ。フェルミでは $τ < 0$ で $G = + e^{- ξ τ} n$ ）
粒子の種類から松原振動数を決める: ボースは $G (τ + β) = G (τ)$ で $ω_{n} = 2 π n T$ 、フェルミは $G (τ + β) = - G (τ)$ で $ω_{n} = (2 n + 1) π T$ （ $n$ は整数）
フーリエ係数は $G (i ω_{n}) = \int_{0}^{β} d τ e^{i ω_{n} τ} G (τ)$ で計算し、 $e^{i ω_{n} β} = \pm 1$ を使って整理する。自由粒子では $G (i ω_{n}) = \frac{1}{i ω _{n} - ξ}$
逆向きは $G (τ) = T \sum_{n} e^{- i ω_{n} τ} G (i ω_{n})$ 。 $τ = 0$ では $G$ が不連続なので、 $τ \to 0^{-}$ のように近づける向きを指定して扱う（フェルミ粒子なら $G (0^{-}) = n$ 、 $G (0^{+}) = - (1 - n)$ ）

例題

$ℏ = k_{B} = 1$ とする。エネルギー $ε$ の 1 準位だけをもつフェルミ粒子の系 $H = ε c^{†} c$ が、温度 $T = 1/ β$ 、化学ポテンシャル $μ$ の熱平衡にある。 $ξ = ε - μ$ とおき、松原グリーン関数 $G (τ) = - ⟨ T_{τ} c (τ) c^{†} (0)⟩$ （ $c (τ) = e^{(H - μ N) τ} c e^{- (H - μ N) τ}$ ）の $τ = β /2$ での値 $G (β /2)$ を $β, ξ$ で表せ。

例題の解答

手順 1: $K = H - μ N = ξ c^{†} c$ で、 $c (τ) = e^{- ξ τ} c$ 。

手順 2: $0 < β /2 < β$ なので $T_{τ}$ は並べかえず、 $G (β /2) = - e^{- ξ β /2} ⟨ c c^{†} ⟩ = - e^{- β ξ /2} (1 - n_{F})$ 。フェルミ分布 $n_{F} = \frac{1}{e ^{β ξ} + 1}$ より $1 - n_{F} = \frac{e ^{β ξ}}{e ^{β ξ} + 1}$ 。

よって $G (β /2) = - \frac{e ^{β ξ /2}}{e ^{β ξ} + 1} = - \frac{1}{e ^{β ξ /2} + e ^{- β ξ /2}}$

確認（手順 3）: 反周期性 $G (τ + β) = - G (τ)$ を $τ = - β /2$ で使うと $G (β /2) = - G (- β /2)$ 。手順 2 の $τ < 0$ の式から $G (- β /2) = + e^{β ξ /2} n_{F} = \frac{e ^{β ξ /2}}{e ^{β ξ} + 1}$ なので、たしかに $G (β /2) = - \frac{e ^{β ξ /2}}{e ^{β ξ} + 1}$ と一致する。また答えが $ξ \to - ξ$ で変わらないのは、 $τ = β /2$ が反周期の中央で粒子と空孔の寄与が対称になるためである。

答え: $- \frac{1}{e ^{β ξ /2} + e ^{- β ξ /2}}$

よくある誤り

フェルミ粒子にもボース粒子の $ω_{n} = 2 π n T$ を使ってしまう誤り。フェルミ粒子の $G$ は $G (τ + β) = - G (τ)$ の反周期関数なので、正しくは $e^{i ω_{n} β} = - 1$ となる $ω_{n} = (2 n + 1) π T$ （ $ω_{n} = 0$ は現れない）
$τ < 0$ でフェルミ演算子の並べかえの符号を落とし、 $G (τ) = - ⟨ c^{†} c (τ)⟩$ としてしまう誤り。正しくは $T_{τ} c (τ) c^{†} = - c^{†} c (τ)$ なので $G (τ) = + ⟨ c^{†} c (τ)⟩ = e^{- ξ τ} n_{F}$ （ボースでは並べかえの符号がなく $G (τ) = - e^{- ξ τ} n_{B}$ ）
$c (τ)$ の時間発展に $H$ だけを使い、 $c (τ) = e^{- ε τ} c$ としてしまう誤り。熱平均の重みが $e^{- β (H - μ N)}$ なので、正しくは $K = H - μ N$ で発展させ、 $c (τ) = e^{- (ε - μ) τ} c$ 、 $G (i ω_{n}) = \frac{1}{i ω _{n} - ( ε - μ )}$
$T \sum_{n} G (i ω_{n})$ をそのまま $⟨ c^{†} c ⟩$ と考える誤り。この和は $G (τ)$ の不連続点 $τ = 0$ での値に当たり、フェルミ粒子では不連続の中央 $\frac{1}{2} (G (0^{+}) + G (0^{-})) = n_{F} - \frac{1}{2}$ になる。正しくは収束因子を付けて $⟨ c^{†} c ⟩ = G (0^{-}) = T \sum_{n} e^{i ω_{n} 0^{+}} G (i ω_{n}) = n_{F}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$ℏ = k_{B} = 1$ の単位系を使う。1 つのフェルミ粒子の準位だけからなる系
$H = ξ c^{†} c$
（ ${c, c^{†}} = 1$ 、 $ξ$ は化学ポテンシャルから測ったエネルギーで実数）が温度 $T > 0$ の熱平衡にある。 $β = 1/ T$ とし、虚時間グリーン関数を
$G (τ) = - ⟨ T_{τ} c (τ) c^{†} (0)⟩, c (τ) = e^{H τ} c e^{- H τ} (- β < τ < β)$
で定め、そのフーリエ変換を
$G (i ω_{n}) = \int_{0}^{β} d τ e^{i ω_{n} τ} G (τ)$
とする。ここで $ω_{n}$ はフェルミ粒子の松原振動数で、 $ω_{n} = (2 n + 1) π T$ （ $n$ は整数）と番号を付ける。
$ξ = π T$ のとき、 $n = 0$ の松原振動数 $ω_{0} = π T$ における $G (i ω_{0})$ を $T$ を用いて表せ。答えは $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形にまとめよ。

この技能の次に学べること

松原和の計算（大学院物理多体系の量子論・物性理論）