松原和の計算

$T \sum_{n} g (i ω_{n})$ を $n_{F} (z)$ や $n_{B} (z)$ を掛けた複素積分に直し、留数定理で $T \sum_{n} \frac{1}{( i ω _{n} - ξ _{1} ) ( i ω _{n} - ξ _{2} )} = \frac{n _{F} ( ξ _{1} ) - n _{F} ( ξ _{2} )}{ξ _{1} - ξ _{2}}$ などを計算できる

前提

松原グリーン関数（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
留数定理による複素積分（大学数学複素関数）

この技能までの道筋（176 技能）

算数中学高校大学大学院

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松原グリーン関数（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
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孤立特異点の分類（大学数学複素関数）
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複素数の相等（数学II 複素数と方程式）
正則関数とコーシー・リーマンの方程式（大学数学複素関数）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）
留数定理による複素積分（大学数学複素関数）

説明

有限温度の多体計算（松原グリーン関数を使う摂動論）では、ループ 1 つごとに松原振動数についての無限和 $T \sum_{n} g (i ω_{n})$ が現れます。この技能では、松原振動数の位置にちょうど極をもつ関数 $n_{F} (z) = \frac{1}{e ^{β z} + 1}$ （フェルミ）や $n_{B} (z) = \frac{1}{e ^{β z} - 1}$ （ボース）を $g (z)$ に掛けて複素積分に直し、留数定理で和を $g$ の極での留数の和に置きかえます。こうして $T \sum_{n} \frac{1}{( i ω _{n} - ξ _{1} ) ( i ω _{n} - ξ _{2} )} = \frac{n _{F} ( ξ _{1} ) - n _{F} ( ξ _{2} )}{ξ _{1} - ξ _{2}}$ のような、分布関数で書かれた閉じた形の結果が得られ、感受率・ギャップ方程式・自己エネルギーの計算に使えます。

なぜそうしてよいのか

$ℏ = k_{B} = 1$ 、 $β = 1/ T$ とします。 $n_{F} (z) = \frac{1}{e ^{β z} + 1}$ の分母は $e^{β z} = - 1$ 、すなわち $z = i (2 n + 1) π T = i ω_{n}$ （フェルミの松原振動数）で 0 になります。そこでの留数は、分母の導関数 $β e^{β z} = - β$ を使って $Res_{z = i ω_{n}} n_{F} = \frac{1}{- β} = - T$ です。同様に $n_{B} (z) = \frac{1}{e ^{β z} - 1}$ は $z = 2 π in T$ （ボースの松原振動数）に留数 $\frac{1}{β e ^{β z}} = + T$ の 1 位の極をもちます。つまり $n_{F}$ や $n_{B}$ は「松原振動数の位置に重み $\mp T$ の極を並べた関数」で、 $g (z) n_{F} (z)$ を積分すれば松原和が留数として拾えるのです。

$g (z)$ が松原振動数以外の点 $z_{j}$ にだけ極をもち、 $∣ z ∣ \to \infty$ で $∣ g (z) ∣ \leq C /∣ z ∣^{2}$ のように速く減衰するとします。半径 $R$ の大きな円 $C_{R}$ （極を通らないようにとる）で $\oint_{C_{R}} \frac{d z}{2 π i} g (z) n_{F} (z)$ を考えると、 $n_{F}$ は $Re z \to + \infty$ で 0、 $Re z \to - \infty$ で 1 に近づき、虚軸近くでも有界にとれるので、周の長さ $2 π R$ を掛けても積分は $R \to \infty$ で 0 になります。一方、留数定理からこの積分は内部の留数の和で、 $0 = n \sum (- T) g (i ω_{n}) + j \sum Res_{z = z_{j}} [g (z) n_{F} (z)]$ したがって $T n \sum g (i ω_{n}) = j \sum Res_{z = z_{j}} [g (z) n_{F} (z)] (フェルミ), T n \sum g (i ω_{n}) = - j \sum Res_{z = z_{j}} [g (z) n_{B} (z)] (ボース)$ です。例えば $g (z) = \frac{1}{( z - ξ _{1} ) ( z - ξ _{2} )}$ （ $ξ_{1} \neq = ξ_{2}$ は実数）なら、極 $ξ_{1}, ξ_{2}$ での留数は $\frac{n _{F} ( ξ _{1} )}{ξ _{1} - ξ _{2}}$ 、 $\frac{n _{F} ( ξ _{2} )}{ξ _{2} - ξ _{1}}$ で、和が $\frac{n _{F} ( ξ _{1} ) - n _{F} ( ξ _{2} )}{ξ _{1} - ξ _{2}}$ になります。

$g (z)$ が $1/ z$ 程度にしか減衰しない場合（例: $\frac{1}{i ω _{n} - ξ}$ の単独の和）は、和そのものが条件収束で順序に依存するため、もとの虚時間の定義から来る収束因子 $e^{i ω_{n} 0^{+}}$ を付けて $g (z) e^{z 0^{+}}$ とします。 $e^{z 0^{+}}$ は $Re z \to - \infty$ で減衰し、 $Re z \to + \infty$ では $n_{F}$ の $e^{- β z}$ に負けるので、大きな円の寄与はやはり 0 で、 $T \sum_{n} \frac{e ^{i ω_{n} 0^{+}}}{i ω _{n} - ξ} = n_{F} (ξ)$ が得られます。

手順

和がフェルミ（ $ω_{n} = (2 n + 1) π T$ ）かボース（ $ω_{n} = 2 π n T$ ）かを確かめ、 $g (i ω_{n})$ の $i ω_{n}$ を複素数 $z$ に置きかえて $g (z)$ を作る（ $ω_{n}^{2} = - (i ω_{n})^{2}$ に注意）
$∣ z ∣ \to \infty$ での $g (z)$ の減衰を確かめる。 $1/∣ z ∣^{2}$ より速ければそのまま、 $1/∣ z ∣$ 程度なら収束因子 $e^{z 0^{+}}$ （または $e^{- z 0^{+}}$ ）をもとの定義に合わせて付ける
$g (z)$ の極 $z_{j}$ を求め、 $g (z) n_{F} (z)$ （フェルミ）または $g (z) n_{B} (z)$ （ボース）の $z_{j}$ での留数を計算する
フェルミなら $T \sum_{n} g (i ω_{n}) = \sum_{j} Res [g n_{F}]_{z_{j}}$ 、ボースなら $T \sum_{n} g (i ω_{n}) = - \sum_{j} Res [g n_{B}]_{z_{j}}$ とする
$n_{F} (- x) = 1 - n_{F} (x)$ 、 $n_{B} (- x) = - 1 - n_{B} (x)$ などで結果を整理する

例題

$ℏ = k_{B} = 1$ 、温度 $T = 1/ β$ とし、フェルミの松原振動数を $ω_{n} = (2 n + 1) π T$ （ $n$ は整数）とする。 $ε > 0$ に対して $T n = - \infty \sum \infty \frac{1}{ω _{n}^{2} + ε ^{2}}$ を $β, ε$ で表せ。

例題の解答

手順 1: フェルミの和。 $ω_{n}^{2} = - (i ω_{n})^{2}$ なので $\frac{1}{ω _{n}^{2} + ε ^{2}} = \frac{- 1}{( i ω _{n} ) ^{2} - ε ^{2}}$ で、 $g (z) = \frac{- 1}{( z - ε ) ( z + ε )}$ 。

手順 2: $∣ g (z) ∣ \sim 1/∣ z ∣^{2}$ なので収束因子は不要。

手順 3: 極は $z = \pm ε$ （実軸上で、松原振動数とは重ならない）。 $Res_{z = ε} [g n_{F}] = \frac{- n _{F} ( ε )}{2 ε}, Res_{z = - ε} [g n_{F}] = \frac{- n _{F} ( - ε )}{- 2 ε} = \frac{n _{F} ( - ε )}{2 ε}$

手順 4: $T \sum_{n} \frac{1}{ω _{n}^{2} + ε ^{2}} = \frac{n _{F} ( - ε ) - n _{F} ( ε )}{2 ε}$ 。

手順 5: $n_{F} (- ε) = 1 - n_{F} (ε)$ より $\frac{1 - 2 n _{F} ( ε )}{2 ε} = \frac{1}{2 ε} (1 - \frac{2}{e ^{β ε} + 1}) = \frac{e ^{β ε} - 1}{2 ε ( e ^{β ε} + 1 )}$ （ $T \to 0$ で $\frac{1}{2 ε}$ となり、 $\int \frac{d ω}{2 π} \frac{1}{ω ^{2} + ε ^{2}} = \frac{1}{2 ε}$ と一致する）。

答え: $\frac{e ^{β ε} - 1}{2 ε ( e ^{β ε} + 1 )}$

よくある誤り

$n_{F}$ の松原振動数での留数を $+ T$ として、フェルミの和を $T \sum_{n} g (i ω_{n}) = - \sum_{j} Res [g n_{F}]$ としてしまう誤り。 $e^{β z} = - 1$ の点で留数は $\frac{1}{β e ^{β z}} = - T$ なので、正しくは $T \sum_{n} g (i ω_{n}) = + \sum_{j} Res [g n_{F}]$ （ボースでは $n_{B}$ の留数が $+ T$ で、 $- \sum_{j} Res [g n_{B}]$ ）
フェルミの和に $n_{B}$ を、ボースの和に $n_{F}$ を掛けてしまう誤り。 $n_{B}$ の極は $2 π in T$ でフェルミの松原振動数 $(2 n + 1) π i T$ と一致しないので、正しくは極の位置が和の振動数と一致する関数（フェルミなら $n_{F}$ 、ボースなら $n_{B}$ ）を掛ける
$g (z) \sim 1/ z$ の和に収束因子を付けずに留数を計算し、例えば $T \sum_{n} \frac{1}{i ω _{n} - ξ} = n_{F} (ξ)$ とする誤り。収束因子がないと対称な和は $n_{F} (ξ) - \frac{1}{2}$ になる。正しくは定義に合わせて $e^{i ω_{n} 0^{+}}$ を付け、 $T \sum_{n} \frac{e ^{i ω_{n} 0^{+}}}{i ω _{n} - ξ} = n_{F} (ξ)$
$ξ_{1} = ξ_{2} = ξ$ の 2 位の極で 1 位の公式をそのまま使い、分母 0 にしてしまう誤り。正しくは 2 位の極の留数 $\frac{d}{d z} n_{F} (z)_{z = ξ}$ を使い、 $T \sum_{n} \frac{1}{( i ω _{n} - ξ ) ^{2}} = n_{F}^{'} (ξ) = - \frac{β e ^{β ξ}}{( e ^{β ξ} + 1 ) ^{2}}$ （ $ξ_{2} \to ξ_{1}$ の極限とも一致する）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$ℏ = k_{B} = 1$ とし、温度 $T > 0$ 、 $β = 1/ T$ とする。フェルミ粒子の松原振動数 $ω_{n} = (2 n + 1) π T$ （ $n$ はすべての整数）についての和
$S = T n = - \infty \sum \infty \frac{1}{ω _{n}^{2} + ξ ^{2}}$
を考える。ただし $ξ > 0$ は実数である。
$ξ = T lo g 3$ のとき、 $S$ を $T$ を用いて表せ。