相転移と繰り込み群の問題

1. $m$ を決める

ユニタリー極小模型 $\mathcal{M}(m+1,m)$ の中心電荷は
$$c=1-\frac{6}{m(m+1)}$$
である。$c=\frac{25}{28}$ とおくと $\frac{6}{m(m+1)}=\frac{3}{28}$、すなわち $m(m+1)=56$ となる。$m\ge 3$ の整数なので $m=7$ である。

2. Kac 公式と場の同一視

主要場の共形次元は Kac 公式
$$h_{r,s}=\frac{((m+1)r-ms{)}^2-1}{4m(m+1)}=\frac{(8r-7s{)}^2-1}{224}$$
で与えられる。添字の範囲は $1\le r\le m-1=6$、$1\le s\le m=7$ である。

Kac 表には $(r,s)\sim (m-r,m+1-s)=(7-r,8-s)$ の同一視がある。実際 $8(7-r)-7(8-s)=-(8r-7s)$ なので $h$ は等しい。したがって独立な主要場は $6\cdot 7/2=21$ 個である。

3. relevant の条件

対角型なので $\Delta =2h_{r,s}$ である。$\Delta <2$ は $h_{r,s}<1$ と同じで、これは
$$(8r-7s{)}^2<225⟺|8r-7s|\le 14$$
と書ける。

4. 数え上げ

$n=8r-7s$ の値を表にする。
- $r=1$: $1,-6,-13,-20,\dots$ → 条件を満たすのは $s=1,2,3$ の 3 個
- $r=2$: $9,2,-5,-12,-19,\dots$ → $s=1$〜$4$ の 4 個
- $r=3$: $17,10,3,-4,-11,-18,\dots$ → $s=2$〜$5$ の 4 個
- $r=4$: $25,18,11,4,-3,-10,-17$ → $s=3$〜$6$ の 4 個
- $r=5$: $33,26,19,12,5,-2,-9$ → $s=4$〜$7$ の 4 個
- $r=6$: $41,34,27,20,13,6,-1$ → $s=5,6,7$ の 3 個

合計は 22 組である。同一視で 2 組ずつ 1 つの場になるので、$h<1$ の主要場は 11 個である。$|n|$ の値は $\{1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,13\}$ ですべて異なる。$|n|=15$（marginal, $h=1$）は現れない。

このうち $|n|=1$ は $h=0$ の恒等演算子（$(1,1)\sim (6,7)$）である。これを除くと、relevant な主要場は
$$11-1=10$$
個となる。

$c=1-\frac{6}{m(m+1)}=\frac{25}{28}$ より $m(m+1)=56$ なので $m=7$。模型は $\mathcal{M}(8,7)$ である。

共形次元は $h_{r,s}=\frac{(8r-7s{)}^2-1}{224}$（$1\le r\le 6,1\le s\le 7$）で、$(r,s)\sim (7-r,8-s)$ により $21$ 個の主要場が独立である。

A 型では $\Delta =2h$ なので、$\Delta <2$ は $h<1$、すなわち $(8r-7s{)}^2<225$、つまり $|8r-7s|\le 14$ と同値である。

各 $r$ について条件を満たす $s$ の個数を数える。
- $r=1$: $s=1,2,3$ の 3 個
- $r=2$: $s=1,\dots ,4$ の 4 個
- $r=3$: $s=2,\dots ,5$ の 4 個
- $r=4$: $s=3,\dots ,6$ の 4 個
- $r=5$: $s=4,\dots ,7$ の 4 個
- $r=6$: $s=5,6,7$ の 3 個

合計は 22 組である。同一視 $(r,s)\sim (7-r,8-s)$ は $8r-7s\to -(8r-7s)$ を与えるので、条件はこの同一視で保たれる。また $r=7-r$ を満たす整数 $r$ はなく、固定点はない。よって 22 組は 2 組ずつ対になり、場は 11 個になる。

ここから恒等演算子 $(1,1)$（$h=0$）を除くと $10$ 個。

検算: $h=1$ となるのは $|8r-7s|=15$ のときで、これは $\Delta =2$ の marginal であり除外される。上の数え上げは $|8r-7s|\le 14$ で行っているので、これは含まれていない。