指数関数と対数関数の問題

$t={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ とおく。$x$ が実数全体を動くとき、$t$ は $t>0$ の範囲のすべての値をとる。

${\left(\frac{1}{4}\right)}^x={\left\{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right\}}^x={\left\{{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right\}}^2=t^2$、${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x+1}=\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=\frac{1}{2}t$ であるから、不等式は
$$t^2-\frac{9}{2}t+2\le 0$$
となる。両辺を $2$ 倍して
$$2t^2-9t+4\le 0$$
左辺を因数分解すると
$$(2t-1)(t-4)\le 0$$
よって $\frac{1}{2}\le t\le 4$ である。これは $t>0$ を満たす。

したがって
$$\frac{1}{2}\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^x\le 4$$
ここで $\frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^1$、$4=2^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$ であるから
$${\left(\frac{1}{2}\right)}^1\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^x\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$$
底 $\frac{1}{2}$ は $0<\frac{1}{2}<1$ なので、関数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ は減少関数である。よって指数の大小は逆向きになり
$$-2\le x\le 1$$

(確認: $x=1$ のとき $\frac{1}{4}-\frac{9}{4}+2=0$、$x=-2$ のとき $16-18+2=0$ で、いずれも等号が成り立つ。)

答えは $-2\le x\le 1$ である。

$t={\left(\frac{1}{2}\right)}^x>0$ とおくと、${\left(\frac{1}{4}\right)}^x=t^2$、${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x+1}=\frac{t}{2}$ なので、不等式は $t^2-\frac{9}{2}t+2\le 0$ となる。両辺に 2 を掛けて $2t^2-9t+4\le 0$、すなわち $(2t-1)(t-4)\le 0$ より $\frac{1}{2}\le t\le 4$。これは $t>0$ を満たす。\n${\left(\frac{1}{2}\right)}^x\ge \frac{1}{2}$ から、底が 1 より小さいので $x\le 1$。${\left(\frac{1}{2}\right)}^x\le 4={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$ から $x\ge -2$。よって $-2\le x\le 1$。\n検算：$x=1$ のとき $\frac{1}{4}-\frac{9}{4}+2=0$、$x=-2$ のとき $16-18+2=0$ で等号が成り立つ。$x=0$ のとき $1-\frac{9}{2}+2=-\frac{3}{2}<0$ で成立する。