指数関数と対数関数の問題

手順1：両辺の底をそろえる

左辺の底は $\frac{1}{2}$ なので、右辺の $4$ も底 $\frac{1}{2}$ の累乗で表します。$4=2^2$ であり、$\frac{1}{2}=2^{-1}$ なので
$$4=2^2={\left(2^{-1}\right)}^{-2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$$
です。よって、不等式は
$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-3}\geqq {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$$
となります。

手順2：底と $1$ の大小を確かめて、指数を比べる

底 $\frac{1}{2}$ は $0<\frac{1}{2}<1$ です。このとき関数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ は減少関数なので、指数が小さいほど値は大きくなります。したがって、指数を比べると不等号の向きが逆になり、
$$x-3\leqq -2$$
となります。

手順3：1次不等式を解く

両辺に $3$ を加えて
$$x\leqq 1$$

確かめ：$x=1$ のとき、左辺は ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=4$ なので等号が成り立ちます。$x=0$ のとき、左辺は ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=8\geqq 4$ で成り立ちます。

よって、求める範囲は $x\leqq 1$ です。

$4={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$ なので、不等式は ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-3}\geqq {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$ となる。底 $\frac{1}{2}$ は $0<\frac{1}{2}<1$ なので、指数の大小は逆転して $x-3\leqq -2$。よって $x\leqq 1$。
検算：$x=1$ のとき ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=4$ で等号が成り立つ。$x=0$ のとき ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=8\geqq 4$ で成り立つ。$x=2$ のとき ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2<4$ で成り立たない。