指数関数と対数関数の問題

方針：両辺を同じ底 $\frac{1}{3}$ の累乗で表し、指数どうしを比べます。

手順1：右辺を底 $\frac{1}{3}$ の累乗で表す

$27=3^3$ です。また $3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}$ なので、
$$27=3^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}$$
となります。よって、不等式は
$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-1}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}$$
と書き直せます。

手順2：指数を比べる（不等号の向きに注意）

底 $\frac{1}{3}$ は $0<\frac{1}{3}<1$ です。したがって、関数 $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ は減少関数で、指数が大きいほど値は小さくなります。このため、指数を比べるときは不等号の向きが逆になります。
$$2x-1>-3$$

手順3：1次不等式を解く

両辺に $1$ を加えると
$$2x>-2$$
となり、両辺を $2$ で割ると
$$x>-1$$
が得られます。

確かめ：$x=0$ のとき、左辺は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$ で、$3<27$ は成り立ちます。$x=-2$ のとき、左辺は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-5}=243$ で、$243<27$ は成り立ちません。どちらも答えと合っています。

答え：$x>-1$

$27=3^3$、${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-1}=3^{-(2x-1)}=3^{1-2x}$ なので、不等式は $3^{1-2x}<3^3$ となる。底 $3>1$ より指数の大小は保たれるので、$1-2x<3$。よって $-2x<2$、すなわち $x>-1$。
検算：$x=0$ のとき左辺は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3<27$ で成り立つ。$x=-1$ のとき左辺は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=27$ で等号となり不等式は成り立たない。$x=-2$ のとき左辺は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-5}=243>27$ で成り立たない。したがって答えは $x>-1$。