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指数関数と対数関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 指数関数と対数関数

次の式の値を求めよ。 $8^{\frac{2}{3}} \times 1 6^{- \frac{3}{4}}$

この問題で使うもの

指数の拡張と指数関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（11 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「指数の拡張と指数関数」を使う。 $8$ と $16$ をどちらも $2$ の累乗で表し、底をそろえてから指数法則を使おう。

ヒント 2

$8 = 2^{3}$ 、 $16 = 2^{4}$ と表し、 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ と $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ を使う。負の指数は $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ である。

ヒント 3

$8^{\frac{2}{3}} = 2^{2}$ 、 $1 6^{- \frac{3}{4}} = 2^{- 3}$ となるので、あとは $2^{2} \times 2^{- 3}$ を計算すればよい。

答えと解説

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\frac{1}{2}

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解説を読む

有理数の指数と負の指数を使って計算する。

まず、底をそろえる。 $8 = 2^{3}$ 、 $16 = 2^{4}$ である。

指数法則 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ （ $a > 0$ のとき、 $m, n$ が有理数でも成り立つ）を使うと、
$8^{\frac{2}{3}} = (2^{3})^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \times \frac{2}{3}} = 2^{2}$
$1 6^{- \frac{3}{4}} = (2^{4})^{- \frac{3}{4}} = 2^{4 \times (- \frac{3}{4})} = 2^{- 3}$
となる。

次に、指数法則 $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ を使うと、
$8^{\frac{2}{3}} \times 1 6^{- \frac{3}{4}} = 2^{2} \times 2^{- 3} = 2^{2 + (- 3)} = 2^{- 1}$

最後に、負の指数の定義 $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ より、
$2^{- 1} = \frac{1}{2}$

よって、求める値は $\frac{1}{2}$ である。

別解

$8^{\frac{2}{3}} = (2^{3})^{\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4$ 。 $1 6^{- \frac{3}{4}} = (2^{4})^{- \frac{3}{4}} = 2^{- 3} = \frac{1}{8}$ 。よって積は $4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ 。検算：指数をまとめると $2^{2} \cdot 2^{- 3} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$ で一致する。

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