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指数関数と対数関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 指数関数と対数関数

次の式の値を求めよ。 $1 6^{\frac{3}{4}} \times 8^{- \frac{2}{3}}$

この問題で使うもの

指数の拡張と指数関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（11 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

指数の拡張（負の指数・有理数の指数）と指数法則を使います。まず $16$ と $8$ を同じ底の累乗で表しましょう。

ヒント 2

$16 = 2^{4}$ 、 $8 = 2^{3}$ です。指数法則 $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ と $a^{r} \times a^{s} = a^{r + s}$ を使います。

ヒント 3

$1 6^{\frac{3}{4}} = 2^{3}$ 、 $8^{- \frac{2}{3}} = 2^{- 2}$ となります。あとは指数をたし算しましょう。

答えと解説

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2

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解説を読む

有理数の指数を計算するときは、底を同じ数の累乗に直してから指数法則を使います。

手順1：底をそろえる
$16 = 2^{4}$ 、 $8 = 2^{3}$ なので、底をどちらも $2$ にします。
$1 6^{\frac{3}{4}} = (2^{4})^{\frac{3}{4}}, 8^{- \frac{2}{3}} = (2^{3})^{- \frac{2}{3}}$

手順2：指数法則 $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ を使う
$(2^{4})^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = 2^{3}, (2^{3})^{- \frac{2}{3}} = 2^{3 \times (- \frac{2}{3})} = 2^{- 2}$

手順3：指数法則 $a^{r} \times a^{s} = a^{r + s}$ を使う
$2^{3} \times 2^{- 2} = 2^{3 + (- 2)} = 2^{1} = 2$

（確認） $2^{3} = 8$ 、 $2^{- 2} = \frac{1}{2 ^{2}} = \frac{1}{4}$ なので、 $8 \times \frac{1}{4} = 2$ となり、同じ結果になります。

したがって、求める値は $2$ です。

別解

$1 6^{\frac{3}{4}} = (2^{4})^{\frac{3}{4}} = 2^{3} = 8$ 、 $8^{- \frac{2}{3}} = (2^{3})^{- \frac{2}{3}} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$ 。よって積は $8 \times \frac{1}{4} = 2$ 。検算：指数をまとめると $2^{3} \times 2^{- 2} = 2^{1} = 2$ 。

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