指数関数と対数関数の問題

$t=x^{\frac{1}{3}}$ とおきます。$x>0$ より $t>0$ であり、$x^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{t}$、$x=t^3$、$x^{-1}=\frac{1}{t^3}$ です。条件は
$$t-\frac{1}{t}=2$$
となります。

$t+\frac{1}{t}$ を求める
$${\left(t+\frac{1}{t}\right)}^2={\left(t-\frac{1}{t}\right)}^2+4=2^2+4=8$$
$t>0$ より $t+\frac{1}{t}>0$ なので、
$$t+\frac{1}{t}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

$t^3+\frac{1}{t^3}$ を求める
$$t^3+\frac{1}{t^3}={\left(t+\frac{1}{t}\right)}^3-3t\cdot \frac{1}{t}\left(t+\frac{1}{t}\right)={\left(t+\frac{1}{t}\right)}^3-3\left(t+\frac{1}{t}\right)$$
ここで $(2\sqrt{2}{)}^3=16\sqrt{2}$ なので、
$$t^3+\frac{1}{t^3}=16\sqrt{2}-6\sqrt{2}=10\sqrt{2}$$

したがって $x+x^{-1}=10\sqrt{2}$ です。

（検算）$t-\frac{1}{t}=2$ の両辺に $t$ を掛けると $t^2-2t-1=0$ です。$t>0$ より $t=1+\sqrt{2}$ となります。
- $t^3=(1+\sqrt{2}{)}^3=1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=7+5\sqrt{2}$
- $\frac{1}{t}=\sqrt{2}-1$ なので $\frac{1}{t^3}=(\sqrt{2}-1{)}^3=5\sqrt{2}-7$

よって和は $10\sqrt{2}$ となり、一致します。

$t=x^{1/3}$ とおくと $t>0$ で、$t-t^{-1}=2$ である。立方すると $t^3-3t+3t^{-1}-t^{-3}=8$、すなわち $(t^3-t^{-3})-3(t-t^{-1})=8$ となる。よって $x-x^{-1}=8+3\cdot 2=14$。
次に $(x+x^{-1}{)}^2=(x-x^{-1}{)}^2+4=196+4=200$。$x>0$ より $x+x^{-1}>0$ なので、$x+x^{-1}=10\sqrt{2}$。
検算：$t-1/t=2$ より $t^2-2t-1=0$、$t=1+\sqrt{2}$（$t>0$）。$1/t=\sqrt{2}-1$。$x=t^3=(1+\sqrt{2}{)}^3=1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=7+5\sqrt{2}$。$x^{-1}=(\sqrt{2}-1{)}^3=2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1=5\sqrt{2}-7$。和は $10\sqrt{2}$。これは確かに成り立つ。