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指数関数と対数関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 指数関数と対数関数

実数 $x$ が $3^{x} + 3^{- x} = 4$ を満たすとき、 $9^{x} + 9^{- x}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

指数を含む対称式の値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（18 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「指数を含む対称式の値」を使います。 $3^{x}$ と $3^{- x}$ は互いに逆数で、積が $1$ になることに注目しましょう。

ヒント 2

$9^{x} = (3^{x})^{2}$ 、 $9^{- x} = (3^{- x})^{2}$ です。また $(t + t^{- 1})^{2} = t^{2} + 2 + t^{- 2}$ が成り立ちます。

ヒント 3

$t = 3^{x}$ とおくと、求める値は $t^{2} + t^{- 2} = (t + t^{- 1})^{2} - 2$ です。ここに $t + t^{- 1} = 4$ を代入します。

答えと解説

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14

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解説を読む

$t = 3^{x}$ とおきます。 $t > 0$ で、 $3^{- x} = \frac{1}{3 ^{x}} = t^{- 1}$ なので、条件は $t + t^{- 1} = 4$ と書けます。

求める式を $t$ で表す

$9^{x} = (3^{2})^{x} = (3^{x})^{2} = t^{2}$ 、 $9^{- x} = (3^{x})^{- 2} = t^{- 2}$ です。よって $9^{x} + 9^{- x} = t^{2} + t^{- 2}$ となります。

対称式の公式を使う

$t$ と $t^{- 1}$ の積は $t \cdot t^{- 1} = 1$ です。 $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ で $x = t$ 、 $y = t^{- 1}$ とすると $t^{2} + t^{- 2} = (t + t^{- 1})^{2} - 2 \cdot t \cdot t^{- 1} = (t + t^{- 1})^{2} - 2$ が成り立ちます。

値を代入する

$t + t^{- 1} = 4$ を代入すると $t^{2} + t^{- 2} = 4^{2} - 2 = 16 - 2 = 14$ です。

したがって $9^{x} + 9^{- x} = 14$ です。

別解

$t = 3^{x} + 3^{- x} = 4$ とおく。 $9^{x} + 9^{- x} = (3^{x})^{2} + (3^{- x})^{2} = (3^{x} + 3^{- x})^{2} - 2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{- x} = t^{2} - 2$ である。したがって $4^{2} - 2 = 14$ 。
検算： $3^{x} + 3^{- x} = 4$ より $3^{x} = 2 \pm 3$ 。 $u = 3^{x} = 2 + 3$ とすると $1/ u = 2 - 3$ 。 $u^{2} = 7 + 43$ 、 $1/ u^{2} = 7 - 43$ 。和は $14$ となり一致する。また $u > 0$ なので実数解 $x$ が存在する。

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