指数関数と対数関数の問題

$t=x^{\frac{1}{3}}$ とおく。$x>0$ より $t>0$ であり、$x^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{t}$、$x=t^3$、$x^{-1}=\frac{1}{t^3}$ である。条件は $t-\frac{1}{t}=2$ となる。

$t^2+\frac{1}{t^2}$ を求める。
$$t^2+\frac{1}{t^2}={\left(t-\frac{1}{t}\right)}^2+2=2^2+2=6$$

$t+\frac{1}{t}$ を求める。
$${\left(t+\frac{1}{t}\right)}^2=t^2+\frac{1}{t^2}+2=6+2=8$$
$t>0$ より $t+\frac{1}{t}>0$ なので、$t+\frac{1}{t}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ である。

$x+x^{-1}$ を求める。
$$x+x^{-1}=t^3+\frac{1}{t^3}=\left(t+\frac{1}{t}\right)\left(t^2-1+\frac{1}{t^2}\right)=2\sqrt{2}\times (6-1)=10\sqrt{2}$$

別の方法による確認。
$$x-x^{-1}=t^3-\frac{1}{t^3}={\left(t-\frac{1}{t}\right)}^3+3\left(t-\frac{1}{t}\right)=8+6=14$$
これを使うと $(x+x^{-1}{)}^2=(x-x^{-1}{)}^2+4=196+4=200$ となる。$x+x^{-1}>0$ より $x+x^{-1}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$ となり、上の結果と一致する。

よって、答えは $10\sqrt{2}$ である。

$t=x^{\frac{1}{3}}$ とおくと $t>0$ で $t-t^{-1}=2$。両辺を3乗すると $t^3-3t+3t^{-1}-t^{-3}=8$、すなわち $(t^3-t^{-3})-3(t-t^{-1})=8$。よって $x-x^{-1}=8+3\cdot 2=14$。

ここで $(x+x^{-1}{)}^2=(x-x^{-1}{)}^2+4=196+4=200$。$x+x^{-1}>0$ より $x+x^{-1}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$。

検算：$t-1/t=2$ より $t^2-2t-1=0$、$t=1+\sqrt{2}$（正）。$t^2=3+2\sqrt{2}$、$1/t=\sqrt{2}-1$。$x=t^3=(1+\sqrt{2}{)}^3=1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=7+5\sqrt{2}$。$x^{-1}=(\sqrt{2}-1{)}^3=2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1=5\sqrt{2}-7$。したがって $x+x^{-1}=10\sqrt{2}$。これは上の結果と一致する。