指数を含む対称式の値

$a^{x}$ と $a^{- x}$ の和・差の値から、 $(t - t^{- 1})^{2} = t^{2} + t^{- 2} - 2$ や 3 乗の公式を使って $x + x^{- 1}$ などの値を求められる（例: $x^{\frac{1}{3}} - x^{- \frac{1}{3}} = 2$ から $x + x^{- 1}$ を求める）

前提

指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
2 変数の対称式（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
2 変数の対称式（数学I 数と式）

説明

$a^{x} + a^{- x}$ や $a^{x} - a^{- x}$ の値がわかっているときに、 $a^{2 x} + a^{- 2 x}$ や $a^{3 x} + a^{- 3 x}$ などの値を、 $x$ や $a^{x}$ そのものを求めずに計算する技能です。 $a^{x}$ と $a^{- x}$ の積がいつも $1$ であることを使い、2 変数の対称式の公式に当てはめます。指数の方程式・不等式や指数関数の最大・最小の問題の途中でもよく使います。

なぜそうしてよいのか

$a > 0$ とし、 $t = a^{x}$ とおきます。指数法則から $a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}} = t^{- 1}$ なので、 $a^{x} + a^{- x} = t + t^{- 1}$ です。2 つの数 $t$ と $t^{- 1}$ の積は $t \cdot t^{- 1} = 1$ と決まっています。したがって和 $t + t^{- 1}$ がわかれば「和と積」がそろい、2 変数の対称式の公式がそのまま使えます。積が $1$ なので、公式は次のように簡単になります。 $t^{2} + t^{- 2} = (t + t^{- 1})^{2} - 2, t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1})^{3} - 3 (t + t^{- 1})$

差 $t - t^{- 1}$ が与えられたときは、展開して確かめられます。 $(t - t^{- 1})^{2} = t^{2} - 2 + t^{- 2}$ より $t^{2} + t^{- 2} = (t - t^{- 1})^{2} + 2$ です。また $(t - t^{- 1})^{3} = t^{3} - 3 t + 3 t^{- 1} - t^{- 3} = (t^{3} - t^{- 3}) - 3 (t - t^{- 1})$ より $t^{3} - t^{- 3} = (t - t^{- 1})^{3} + 3 (t - t^{- 1})$ が成り立ちます。さらに $(t + t^{- 1})^{2} = (t - t^{- 1})^{2} + 4$ を使うと、和と差を行き来できます。

$t^{2} = (a^{x})^{2} = a^{2 x}$ 、 $t^{3} = a^{3 x}$ なので、これらの結果はそのまま $a^{2 x} + a^{- 2 x}$ や $a^{3 x} + a^{- 3 x}$ の値になります。また $t = a^{x} > 0$ なので $t + t^{- 1} > 0$ です。平方根をとって和を求めるときは、正のほうだけが答えになります。

手順

与えられた式の基本になる累乗を $t$ とおき、もう一方が $t^{- 1}$ であることを確かめる（例: $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}$ なら $t = x^{\frac{1}{2}}$ ）。このとき $t \cdot t^{- 1} = 1$ 、 $t > 0$ である。
求めたい式を $t$ で表す（例: $x^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}})^{3} = t^{3}$ 、 $x = t^{2}$ ）。
2 乗なら $t^{2} + t^{- 2} = (t + t^{- 1})^{2} - 2 = (t - t^{- 1})^{2} + 2$ を使う。
3 乗なら $t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1})^{3} - 3 (t + t^{- 1})$ 、または $t^{3} - t^{- 3} = (t - t^{- 1})^{3} + 3 (t - t^{- 1})$ を使う。
与えられた値を代入して計算する。平方根をとる場合は $t + t^{- 1} > 0$ などの符号の条件で答えを 1 つに決める。

例題

$x > 0$ で $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ のとき、 $x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}}$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: $t = x^{\frac{1}{2}}$ とおくと、 $x^{- \frac{1}{2}} = t^{- 1}$ であり、 $t + t^{- 1} = 3$ 、 $t \cdot t^{- 1} = 1$ である。
手順 2: $x^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}})^{3} = t^{3}$ 、 $x^{- \frac{3}{2}} = t^{- 3}$ なので、求める式は $t^{3} + t^{- 3}$ である。
手順 4: 3 乗の和の公式を使う。 $t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1})^{3} - 3 t t^{- 1} (t + t^{- 1}) = (t + t^{- 1})^{3} - 3 (t + t^{- 1})$
手順 5: $t + t^{- 1} = 3$ を代入すると $3^{3} - 3 \cdot 3 = 27 - 9 = 18$ となる。
よって $x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} = 18$ である。

答え: $18$

よくある誤り

$(t + t^{- 1})^{2} = t^{2} + t^{- 2}$ としてしまう誤り。正しくは $(t + t^{- 1})^{2} = t^{2} + 2 + t^{- 2}$ なので、 $t + t^{- 1} = 3$ のとき $t^{2} + t^{- 2} = 9 - 2 = 7$ （ $9$ ではない）。
$t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1})^{3} - 3$ のように、引く項の $(t + t^{- 1})$ を落としてしまう誤り。正しくは $t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1})^{3} - 3 (t + t^{- 1})$ で、 $t + t^{- 1} = 3$ なら $27 - 9 = 18$ （ $24$ ではない）。
差の 3 乗で $t^{3} - t^{- 3} = (t - t^{- 1})^{3} - 3 (t - t^{- 1})$ と符号を間違える誤り。正しくは $t^{3} - t^{- 3} = (t - t^{- 1})^{3} + 3 (t - t^{- 1})$ で、 $t - t^{- 1} = 2$ なら $8 + 6 = 14$ 。
平方根をとるときに $\pm$ を両方答えてしまう誤り。例えば $x - x^{- 1} = 14$ から $(x + x^{- 1})^{2} = 1 4^{2} + 4 = 200$ となるが、 $x > 0$ より $x + x^{- 1} > 0$ なので $x + x^{- 1} = 102$ だけが答え（ $- 102$ は不適）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

指数を含む対称式の値

前提

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なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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