指数関数と対数関数の問題

$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=5-4=1$ より $(\sqrt{5}+2{)}^{-1}=\sqrt{5}-2$ である。$\sqrt{5}-2>0$ であるから、
$$x^{-1}={\left(\sqrt{5}+2\right)}^{-\frac{1}{3}}={\left(\sqrt{5}-2\right)}^{\frac{1}{3}}$$
となる。したがって
$$x^3=\sqrt{5}+2,x^{-3}=\sqrt{5}-2$$
であり、
$$x^3-x^{-3}=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)=4$$
である。

次に $t=x-x^{-1}$ とおく。$x\cdot x^{-1}=1$ を用いると
$$t^3=(x-x^{-1}{)}^3=x^3-x^{-3}-3x\cdot x^{-1}(x-x^{-1})=x^3-x^{-3}-3t$$
となる。$x^3-x^{-3}=4$ を代入すると
$$t^3=4-3t$$
すなわち
$$t^3+3t-4=0$$
である。$t=1$ を代入すると $1+3-4=0$ となるので、左辺は $t-1$ を因数にもち、
$$(t-1)(t^2+t+4)=0$$
と因数分解できる。$t$ は実数であり、
$$t^2+t+4={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{15}{4}>0$$
であるから $t=1$ である。すなわち $x-x^{-1}=1$ である。

よって
$$x^2+x^{-2}=(x-x^{-1}{)}^2+2=1+2=3$$
である。さらに
$$(x^2+x^{-2})(x^3-x^{-3})=x^5-x^{-1}+x-x^{-5}=(x^5-x^{-5})+(x-x^{-1})$$
が成り立つから、
$$x^5-x^{-5}=(x^2+x^{-2})(x^3-x^{-3})-(x-x^{-1})=3\cdot 4-1=11$$
である。

(参考: $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ であり、実際に $x^3=2x+1=\sqrt{5}+2$ が確かめられる。)

答えは $11$ である。

$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=1$ より $x^{-1}=(\sqrt{5}-2{)}^{1/3}$ である。$t=x-x^{-1}$ とおくと、
$t^3=x^3-x^{-3}-3(x-x^{-1})=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)-3t=4-3t$。
よって $t^3+3t-4=0$、すなわち $(t-1)(t^2+t+4)=0$。$t$ は実数で $t^2+t+4>0$ だから $t=1$。
つまり $x-x^{-1}=1$ である。
次に $(x+x^{-1}{)}^2=(x-x^{-1}{)}^2+4=5$ で、$x>0$ より $x+x^{-1}=\sqrt{5}$。
$s_n=x^n-x^{-n}$ とおくと、$s_{n+1}=(x+x^{-1})s_n-s_{n-1}$ が成り立つ。
$s_0=0,s_1=1$ より
$s_2=\sqrt{5}$、$s_3=\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}-1=4$、$s_4=4\sqrt{5}-\sqrt{5}=3\sqrt{5}$、$s_5=\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}-4=11$。
検算: $x^3=\sqrt{5}+2$ なので $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（黄金比）となり、$x^5-x^{-5}$ はリュカ数 $L_5=11$ に等しく一致する。