指数関数と対数関数の問題

3 つの式の共通の値を $t$ とおく。
$${\log }_{a}b=t,{\log }_{b}c=t,{\log }_c\left(a^{6}b\right)=t$$

$b,c$ を $a$ で表す　$p={\log }_{2}a$ とおく。$a\ne 1$ より $p\ne 0$ である。底の変換公式より
$${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{2}b}{{\log }_{2}a}=t\text{から}{\log }_{2}b=tp$$
$b\ne 1$ より ${\log }_{2}b\ne 0$ なので $t\ne 0$ である。同様に
$${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{2}c}{{\log }_{2}b}=t\text{から}{\log }_{2}c=t\cdot tp=t^{2}p$$

$t$ の方程式を作る　3 つ目の式は
$${\log }_c\left(a^{6}b\right)=\frac{{\log }_2\left(a^{6}b\right)}{{\log }_{2}c}=\frac{6{\log }_{2}a+{\log }_{2}b}{{\log }_{2}c}=\frac{6p+tp}{t^{2}p}=t$$
であるから、$p\ne 0$ に注意して両辺に $t^{2}p$ を掛け、$p$ で割ると
$$6+t=t^3⟺t^3-t-6=0$$
$t=2$ を代入すると $8-2-6=0$ なので、因数定理より
$$(t-2)(t^2+2t+3)=0$$
ここで $t^2+2t+3=(t+1{)}^2+2>0$ なので、実数 $t$ は $t=2$ のみである（$t\ne 0$ も満たす）。

求める値　$t=2$ より ${\log }_{2}b=2p,{\log }_{2}c=4p$ である。${\log }_2(ab)={\log }_{2}a+{\log }_{2}b=3p\ne 0$ なので $ab\ne 1$ であり、${\log }_{ab}c$ は定義される。
$${\log }_{ab}c=\frac{{\log }_{2}c}{{\log }_2(ab)}=\frac{4p}{3p}=\frac{4}{3}$$

（確認）例えば $a=2,b=4,c=16$ のとき、${\log }_{2}4=2,{\log }_{4}16=2,{\log }_{16}(2^6\cdot 4)={\log }_{16}{2}^8=2$ で条件を満たし、${\log }_{8}16=\frac{4}{3}$ となる。

$p={\log }_{e}a,q={\log }_{e}b,r={\log }_{e}c$ とおく（$a,b,c$ は $1$ でない正の実数なので $p,q,r$ はすべて $0$ でない）。共通の値を $t$ とおく。

${\log }_{a}b=\frac{q}{p}=t$ より $q=tp$。
${\log }_{b}c=\frac{r}{q}=t$ より $r=tq=t^{2}p$。
${\log }_c(a^{6}b)=\frac{6p+q}{r}=\frac{(6+t)p}{t^{2}p}=\frac{6+t}{t^2}=t$（$t\ne 0$ は $q\ne 0$ より従う）。

よって $t^3=t+6$、$t^3-t-6=0$、$(t-2)(t^2+2t+3)=0$。$t^2+2t+3=(t+1{)}^2+2>0$ なので実数解は $t=2$ のみ。

このとき $q=2p,r=4p$。$ab\ne 1$ すなわち $p+q=3p\ne 0$ も成り立つ。
$${\log }_{ab}c=\frac{r}{p+q}=\frac{4p}{3p}=\frac{4}{3}$$

検算: $a=2,b=4,c=16$ とすると ${\log }_{2}4=2$, ${\log }_{4}16=2$, ${\log }_{16}(2^6\cdot 4)={\log }_{16}256=2$ で条件を満たす。${\log }_{ab}c={\log }_{8}16=\frac{4}{3}$ ✓。