指数関数と対数関数の問題

$t={\log }_{a}b$ とおく。$a>1$, $b>1$ より $t>0$ である。

底の変換公式により ${\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}=\frac{1}{t}$ なので、
$${\log }_b(ab)={\log }_{b}a+{\log }_{b}b=\frac{1}{t}+1.$$
よって条件式は
$$t=\frac{1}{t}+1$$
となる。両辺に $t(>0)$ を掛けて $t^2=t+1$、すなわち $t^2-t-1=0$ を得る。これを解くと $t=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ であり、$t>0$ より
$$t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

次に、求める値を底 $a$ の対数で表す。$a>1$, $b>1$ より $ab>1$ なので $ab\ne 1$ であり、底の変換公式が使えて
$${\log }_{ab}\left(a^2{b}^3\right)=\frac{{\log }_a\left(a^2{b}^3\right)}{{\log }_a(ab)}=\frac{2+3{\log }_{a}b}{1+{\log }_{a}b}=\frac{2+3t}{1+t}.$$

ここで $t^2=t+1$ を用いて次数を下げると
$$t^3=t\cdot t^2=t^2+t=(t+1)+t=2t+1,$$
$$t^4=t\cdot t^3=2t^2+t=2(t+1)+t=3t+2.$$
したがって $1+t=t^2$, $2+3t=t^4$ であるから
$$\frac{2+3t}{1+t}=\frac{t^4}{t^2}=t^2=t+1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.$$

（確認: $t\approx 1.618$ のとき $\frac{2+3t}{1+t}\approx \frac{6.854}{2.618}\approx 2.618$ であり、$\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2.618$ と一致する。）

よって、求める値は $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ である。

$x={\log }_{a}b$ とおく。$a>1,b>1$ より $x>0$ である。

右辺は ${\log }_b(ab)=1+{\log }_{b}a=1+\frac{1}{x}$ となる。よって $x=1+\frac{1}{x}$、すなわち $x^2-x-1=0$ である。$x>0$ より $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

求める値は、底を $a$ にそろえて
$${\log }_{ab}(a^2{b}^3)=\frac{2+3x}{1+x}$$
となる。

$x^2=x+1$ より $1+x=x^2$ なので、
$$\frac{2+3x}{1+x}=\frac{(7+3\sqrt{5})/2}{(3+\sqrt{5})/2}=\frac{(7+3\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{4}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

検算: $x\approx 1.618$ を代入すると $\frac{2+4.854}{2.618}\approx 2.618$ となり、$\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2.618$ と一致する。