指数関数と対数関数の問題

手順 1：比 $k=\frac{y}{x}$ で書き直す

$k=\frac{y}{x}$ とおくと、$k$ は $1$ より大きい有理数で、$y=kx$ である。$x^y=y^x$ より
$$x^{kx}=(kx{)}^x\text{すなわち}{\left(x^k\right)}^x=(kx{)}^x$$
正の数 $A$, $B$ について $A^x=B^x$（$x\ne 0$）なら、両辺を $\frac{1}{x}$ 乗して $A=B$ だから $x^k=kx$、すなわち
$$x^{k-1}=k(1)$$

手順 2：$k-1=\frac{1}{n}$ の形しかないこと

$k-1=\frac{p}{q}$（$p$, $q$ は互いに素な正の整数）とおくと $k=\frac{p+q}{q}$ で、$(1)$ の両辺を $\frac{q}{p}$ 乗すると $x={\left(\frac{p+q}{q}\right)}^{\frac{q}{p}}$、よって
$$x^p=\frac{(p+q{)}^q}{q^q}(2)$$
$x=\frac{a}{b}$（$a$, $b$ は互いに素な正の整数）とおく。$p+q$ と $q$ の最大公約数は $p$ と $q$ の最大公約数に等しく $1$ なので、$(2)$ の両辺はともに既約分数であり
$$a^p=(p+q{)}^q,b^p=q^q$$
が成り立つ。

$q\geqq 2$ のとき、$q$ を割り切る素数 $r$ について、$q$ が $r$ でちょうど $e$ 回、$b$ が $r$ でちょうど $f$ 回割り切れるとすると、$b^p=q^q$ より $pf=qe$。$p$ と $q$ は互いに素だから $e$ は $p$ の倍数である。これがすべての素数 $r$ について成り立つので、$q=m^p$（$m$ は正の整数）と書ける（$q=1$ のときも $m=1$ とすればよい）。同様に $a^p=(p+q{)}^q$ から $p+q=l^p$（$l$ は正の整数）と書ける。

すると $l^p-m^p=p$ で、$l>m\geqq 1$ である。$p\geqq 2$ と仮定すると、二項定理より
$$l^p-m^p\geqq (m+1{)}^p-m^p\geqq {}_p{\mathrm{C}}_1{m}^{p-1}+1\geqq p+1>p$$
となり矛盾する。よって $p=1$ であり、$q=n$ とおくと
$$k=1+\frac{1}{n},x={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n,y=kx={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$$
（$n$ は正の整数）。逆にこれらは $(1)$ を満たすので $x^y=y^x$ も成り立つ。

手順 3：差の条件から $n$ を決める

$$y-x={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\cdot \frac{1}{n}=\frac{(n+1{)}^n}{n^{n+1}}$$
$n+1$ と $n$ は互いに素なので、右辺は既約分数である。これが既約分数 $\frac{64}{81}$ に等しいから
$$n^{n+1}=81=3^4,(n+1{)}^n=64$$
前者から $n=3$ で、このとき $(n+1{)}^n=4^3=64$ となり後者も満たす。

よって $x={\left(\frac{4}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}$（このとき $y={\left(\frac{4}{3}\right)}^4=\frac{256}{81}$, $y-x=\frac{256-192}{81}=\frac{64}{81}$）。

$y=tx$ とおくと $t>1$ で、$t$ は有理数。$x^y=y^x$ より $x^{tx}=(tx{)}^x$。両辺の $x$ 乗根をとって $x^t=tx$、よって $x^{t-1}=t$、すなわち $x=t^{\frac{1}{t-1}}$。

$t=\frac{p}{q}$（$p>q\ge 1$、互いに素な整数）とすると $x={\left(\frac{p}{q}\right)}^{\frac{q}{p-q}}$。$x$ が有理数であるためには、$\frac{p}{q}$ が既約分数なので ${\left(\frac{p}{q}\right)}^{\frac{q}{p-q}}$ の分子 $p$、分母 $q$ の指数 $\frac{q}{p-q}$ が整数でなければならない（$p,q$ が互いに素なので、$p$ や $q$ の素因数の指数がすべて $\frac{q}{p-q}$ の倍数になる必要がある）。$\gcd (p-q,q)=\gcd (p,q)=1$ なので $\frac{q}{p-q}$ が整数になるのは $p-q=1$ のときのみ。よって $t=\frac{n+1}{n}$（$n$ は正の整数）と書け、
$$x={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n,y=tx={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n+1}.$$

このとき
$$y-x=x(t-1)=\frac{1}{n}{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n=\frac{(n+1{)}^n}{n^{n+1}}.$$
$\frac{(n+1{)}^n}{n^{n+1}}=\frac{64}{81}$ とする。左辺は既約分数で（$n+1$ と $n$ は互いに素）、分母 $n^{n+1}=81=3^4$ より $n=3$（$n^{n+1}$ は $n$ について単調増加で $n=3$ のとき $3^4=81$）。このとき分子 $4^3=64$ で一致する。$n$ が増えると $\frac{(n+1{)}^n}{n^{n+1}}$ は減少するので他の $n$ では一致しない（既約分数として分母が $81$ になるのは $n=3$ のみ）。

よって $x={\left(\frac{4}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}$、$y=\frac{256}{81}$。

検算: $y-x=\frac{256}{81}-\frac{192}{81}=\frac{64}{81}$。また $x^y=y^x$ は $y=\frac{4}{3}x$ かつ $x^{1/3}=\frac{4}{3}$（$x=\frac{64}{27}$ の立方根は $\frac{4}{3}$）より $x^{t-1}=t$ が成り立つので満たされる。