指数関数と対数関数の問題

$u=2^x$ とおきます。$u>0$ であり、$4^x=u^2$、$8^x=u^3$ です。条件は
$$u^2+u^{-2}=23$$
となります。

$u+u^{-1}$ を求める
$$(u+u^{-1}{)}^2=u^2+2+u^{-2}=23+2=25$$
$u>0$ より $u+u^{-1}>0$ なので、$u+u^{-1}=5$ です。

$u-u^{-1}$ を求める
$$(u-u^{-1}{)}^2=u^2-2+u^{-2}=23-2=21$$
$x<0$ より $0<u=2^x<1$ です。よって $u^{-1}>1$ となり、$u<u^{-1}$ が成り立つので $u-u^{-1}<0$ です。したがって
$$u-u^{-1}=-\sqrt{21}$$

$8^x-8^{-x}$ を求める
$$u^3-u^{-3}=(u-u^{-1})(u^2+u\cdot u^{-1}+u^{-2})=(u-u^{-1})(u^2+1+u^{-2})$$
ここに $u-u^{-1}=-\sqrt{21}$、$u^2+u^{-2}=23$ を代入すると
$$u^3-u^{-3}=-\sqrt{21}\times (23+1)=-24\sqrt{21}$$

(検算) $(u-u^{-1}{)}^3+3(u-u^{-1})=-21\sqrt{21}-3\sqrt{21}=-24\sqrt{21}$ となり、結果が一致します。

求める値
$$\frac{8^x-8^{-x}}{2^x+2^{-x}}=\frac{u^3-u^{-3}}{u+u^{-1}}=\frac{-24\sqrt{21}}{5}=-\frac{24\sqrt{21}}{5}$$

$t=2^x$ とおく。$x<0$ より $0<t<1$。$4^x+4^{-x}=t^2+t^{-2}=23$。

$(t+t^{-1}{)}^2=t^2+2+t^{-2}=25$ で $t+t^{-1}>0$ なので $t+t^{-1}=5$。

$(t-t^{-1}{)}^2=t^2-2+t^{-2}=21$ で、$0<t<1$ より $t<t^{-1}$ だから $t-t^{-1}=-\sqrt{21}$。

$8^x-8^{-x}=t^3-t^{-3}=(t-t^{-1})(t^2+1+t^{-2})=(-\sqrt{21})(24)=-24\sqrt{21}$。

分母は $2^x+2^{-x}=t+t^{-1}=5$。

よって求める値は $-\frac{24\sqrt{21}}{5}$。

検算：$t^3-t^{-3}=(t-t^{-1}{)}^3+3(t-t^{-1})=(t-t^{-1})(21+3)=24(t-t^{-1})=-24\sqrt{21}$ となり一致する。