指数関数と対数関数の問題

$p={\log }_{2}x,q={\log }_{2}y$ とおく。$x>1,y>1$ より $p>0,q>0$ である。

第 $1$ の等式から
$${\log }_2(xy)={\log }_{2}x+{\log }_{2}y=p+q=10.$$

第 $2$ の等式について、底を $2$ に変換すると
$${\log }_{x}4=\frac{{\log }_{2}4}{{\log }_{2}x}=\frac{2}{p},{\log }_{y}4=\frac{2}{q}$$
であるから
$$\frac{2}{p}+\frac{2}{q}=\frac{2(p+q)}{pq}=\frac{20}{pq}=\frac{20}{21}.$$
よって $pq=21$ である。

（確認）$p,q$ は $t^2-10t+21=0$ すなわち $(t-3)(t-7)=0$ の解なので $\{p,q\}=\{3,7\}$ であり、例えば $x=8,y=128$ はどちらも $1$ より大きく条件を満たす。

求める値も底を $2$ に変換すると
$${\log }_{x}y+{\log }_{y}x=\frac{q}{p}+\frac{p}{q}=\frac{p^2+q^2}{pq}=\frac{(p+q{)}^2-2pq}{pq}.$$
ここに $p+q=10,pq=21$ を代入して
$$\frac{100-42}{21}=\frac{58}{21}.$$

よって答えは $\frac{58}{21}$ である。

$a={\log }_{2}x,b={\log }_{2}y$ とおく。$x,y>1$ より $a,b>0$。

${\log }_2(xy)=10$ より $a+b=10$。

${\log }_{x}4=\frac{2}{a}$、${\log }_{y}4=\frac{2}{b}$ なので、
$\frac{2}{a}+\frac{2}{b}=\frac{2(a+b)}{ab}=\frac{20}{ab}=\frac{20}{21}$ より $ab=21$。

求める値は
${\log }_{x}y+{\log }_{y}x=\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b{)}^2-2ab}{ab}=\frac{100-42}{21}=\frac{58}{21}$。

検算: $a,b$ は $t^2-10t+21=0$ の解で $3,7$。このとき $\frac{2}{3}+\frac{2}{7}=\frac{20}{21}$ で条件を満たす。また $\frac{7}{3}+\frac{3}{7}=\frac{49+9}{21}=\frac{58}{21}$ となり一致する。