指数関数と対数関数の問題

$p={\log }_{2}x,q={\log }_{2}y$ とおく。$x\ne 1,y\ne 1$ より $p\ne 0,q\ne 0$ である。

$xy=32$ の両辺の $2$ を底とする対数をとると
$${\log }_{2}x+{\log }_{2}y={\log }_{2}32\text{より}p+q=5(1)$$

次に、底の変換公式より
$${\log }_{x}4=\frac{{\log }_{2}4}{{\log }_{2}x}=\frac{2}{p},{\log }_{y}4=\frac{2}{q}$$
であるから、第 $2$ の条件は
$$\frac{2}{p}+\frac{2}{q}=\frac{5}{3}\text{すなわち}\frac{2(p+q)}{pq}=\frac{5}{3}$$
となる。$(1)$ を代入すると $\frac{10}{pq}=\frac{5}{3}$ より
$$pq=6(2)$$

$(1),(2)$ より、$p,q$ は $2$ 次方程式 $t^2-5t+6=0$ の $2$ つの解である。$(t-2)(t-3)=0$ より $t=2,3$。よって
$$(p,q)=(2,3)\text{または}(3,2)$$
であり、いずれも $p\ne 0,q\ne 0$ を満たす。

$(p,q)=(2,3)$ のとき $x=2^2=4,y=2^3=8$、$(p,q)=(3,2)$ のとき $x=8,y=4$ である。どちらの場合も $xy=32$、${\log }_{x}4+{\log }_{y}4=\frac{2}{2}+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$ を満たす。

したがって、いずれの場合も
$$x+y=4+8=12$$

$a={\log }_{2}x,b={\log }_{2}y$ とおく。$xy=32=2^5$ より $a+b=5$。$x\ne 1,y\ne 1$ より $a\ne 0,b\ne 0$。
${\log }_{x}4=\frac{2}{a},{\log }_{y}4=\frac{2}{b}$ なので、
$\frac{2}{a}+\frac{2}{b}=\frac{2(a+b)}{ab}=\frac{10}{ab}=\frac{5}{3}$ より $ab=6$。
$a,b$ は $t^2-5t+6=0$ の解で、$t=2,3$。
よって $(x,y)=(4,8)$ または $(8,4)$。いずれの場合も $x+y=12$。
検算：${\log }_{4}4+{\log }_{8}4=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$、$4\cdot 8=32$ で条件を満たす。