指数関数と対数関数の問題

$t=a^{\frac{1}{3}}$ とおく。$a>0$ より $t>0$ であり、$a^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{t}$、$a=t^3$、$a^{-1}=\frac{1}{t^3}$ である。

条件は $t-\frac{1}{t}=2$ となる。

$t+\frac{1}{t}$ を求める。
$${\left(t+\frac{1}{t}\right)}^2={\left(t-\frac{1}{t}\right)}^2+4=2^2+4=8$$
$t>0$ より $t+\frac{1}{t}>0$ なので、$t+\frac{1}{t}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ である。

$t^2+\frac{1}{t^2}$ を求める。
$$t^2+\frac{1}{t^2}={\left(t-\frac{1}{t}\right)}^2+2=4+2=6$$

$a+a^{-1}$ を求める。
$$a+a^{-1}=t^3+\frac{1}{t^3}=\left(t+\frac{1}{t}\right)\left(t^2-1+\frac{1}{t^2}\right)=2\sqrt{2}\times (6-1)=10\sqrt{2}$$

(検算)$t-\frac{1}{t}=2$ の両辺に $t$ を掛けると $t^2-2t-1=0$ となる。$t>0$ より $t=1+\sqrt{2}$、$\frac{1}{t}=\sqrt{2}-1$ である。
$t^3=(1+\sqrt{2}{)}^3=1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=7+5\sqrt{2}$
$\frac{1}{t^3}=(\sqrt{2}-1{)}^3=2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1=5\sqrt{2}-7$
この 2 つの和は $10\sqrt{2}$ となり、結果と一致する。

よって $a+a^{-1}=10\sqrt{2}$ である。

$t=a^{\frac{1}{3}}>0$ とおくと、$t-\frac{1}{t}=2$ である。両辺を3乗すると $t^3-\frac{1}{t^3}-3\left(t-\frac{1}{t}\right)=8$ なので、$a-a^{-1}=8+3\cdot 2=14$ となる。
よって $(a+a^{-1}{)}^2=(a-a^{-1}{)}^2+4=196+4=200$ である。$a>0$ より $a+a^{-1}>0$ なので、$a+a^{-1}=10\sqrt{2}$。
検算：$t^2-2t-1=0$ から $t=1+\sqrt{2}$（$t>0$）。$a=(1+\sqrt{2}{)}^3=7+5\sqrt{2}$、$a^{-1}=(\sqrt{2}-1{)}^3=5\sqrt{2}-7$。和は $10\sqrt{2}$ となり一致する。