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指数関数と対数関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 指数関数と対数関数

正の実数 $x$ が
$x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$
を満たすとき、 $x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

指数を含む対称式の値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（18 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「指数を含む対称式の値」を使います。 $t = x^{\frac{1}{2}}$ とおくと、 $x^{- \frac{1}{2}} = t^{- 1}$ となり、 $t$ と $t^{- 1}$ の対称式の問題になります。

ヒント 2

$t \cdot t^{- 1} = 1$ であることに注目し、3 乗の和の公式 $t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1})^{3} - 3 t t^{- 1} (t + t^{- 1})$ を使います。

ヒント 3

$t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1})^{3} - 3 (t + t^{- 1})$ に $t + t^{- 1} = 3$ を代入して計算します。

答えと解説

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18

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解説を読む

$t = x^{\frac{1}{2}}$ とおきます。 $x > 0$ なので $t > 0$ です。指数法則より
$x^{- \frac{1}{2}} = t^{- 1}, x^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}})^{3} = t^{3}, x^{- \frac{3}{2}} = t^{- 3}$
と表せます。条件は $t + t^{- 1} = 3$ となり、求めるものは $t^{3} + t^{- 3}$ です。

$t$ と $t^{- 1}$ の 2 つの数について、和は $t + t^{- 1} = 3$ 、積は $t \cdot t^{- 1} = 1$ です。

3 乗の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$ に $a = t, b = t^{- 1}$ を代入すると
$t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1})^{3} - 3 \cdot t \cdot t^{- 1} \cdot (t + t^{- 1})$
となります。 $t \cdot t^{- 1} = 1$ なので
$t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1})^{3} - 3 (t + t^{- 1})$
です。ここに $t + t^{- 1} = 3$ を代入すると
$t^{3} + t^{- 3} = 3^{3} - 3 \cdot 3 = 27 - 9 = 18$
となります。

よって
$x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} = 18$
です。

別解

$t = x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ とおく。 $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = 1$ なので、3乗の展開公式 $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 ab (a + b)$ より
$x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} = t^{3} - 3 t = 27 - 9 = 18.$
検算： $x + x^{- 1} = t^{2} - 2 = 7$ で、 $x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}) (x - 1 + x^{- 1}) = 3 \times (7 - 1) = 18$ 。これは一致する。また $x^{\frac{1}{2}} = \frac{3 \pm 5}{2} > 0$ なので、条件を満たす正の実数 $x$ は存在する。

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