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指数関数と対数関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 指数関数と対数関数

実数 $x$ が $3^{x} + 3^{- x} = 4$ を満たすとき、 $9^{x} + 9^{- x}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

指数を含む対称式の値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（18 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「指数を含む対称式の値」の技能を使います。 $t = 3^{x}$ とおくと $3^{- x} = t^{- 1}$ で、積は $t \cdot t^{- 1} = 1$ と一定です。 $9^{x} + 9^{- x}$ を $t$ で表してみましょう。

ヒント 2

$9^{x} + 9^{- x} = t^{2} + t^{- 2}$ です。 $(t + t^{- 1})^{2} = t^{2} + t^{- 2} + 2$ を使うと、 $t^{2} + t^{- 2}$ は $t + t^{- 1}$ だけで表せます。

ヒント 3

$t^{2} + t^{- 2} = (t + t^{- 1})^{2} - 2$ に $t + t^{- 1} = 4$ を代入して計算します。

答えと解説

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14

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解説を読む

方針　 $t = 3^{x}$ とおくと、 $3^{- x} = t^{- 1}$ です。 $t$ と $t^{- 1}$ の積は $t \cdot t^{- 1} = 1$ という一定の値になります。そこで、和 $t + t^{- 1}$ を 2 乗して $t^{2} + t^{- 2}$ を求めます。

手順 1：求める式を $t$ で表す

$9^{x} = (3^{2})^{x} = (3^{x})^{2} = t^{2}$ 、 $9^{- x} = (3^{- x})^{2} = t^{- 2}$ です。よって
$9^{x} + 9^{- x} = t^{2} + t^{- 2}$
となります。

手順 2：和を 2 乗する

$(t + t^{- 1})^{2} = t^{2} + 2 \cdot t \cdot t^{- 1} + t^{- 2} = t^{2} + t^{- 2} + 2$
ここで $t \cdot t^{- 1} = 3^{x} \cdot 3^{- x} = 3^{0} = 1$ を使いました。これを変形すると
$t^{2} + t^{- 2} = (t + t^{- 1})^{2} - 2$
です。これは対称式の公式 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab$ で $ab = 1$ とした形です。

手順 3：値を代入する

$t + t^{- 1} = 3^{x} + 3^{- x} = 4$ ですから
$9^{x} + 9^{- x} = 4^{2} - 2 = 16 - 2 = 14$

答えは $14$ です。

別解

$9^{x} + 9^{- x} = (3^{x} + 3^{- x})^{2} - 2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{- x} = 4^{2} - 2 = 14$ 。

検算： $t = 3^{x}$ とおくと $t + 1/ t = 4$ より $t^{2} - 4 t + 1 = 0$ 、 $t = 2 \pm 3$ 。 $t^{2} = 7 \pm 43$ 、 $1/ t^{2} = 7 \mp 43$ なので和は $14$ 。これは実数 $x$ が存在し（ $t > 0$ ）、条件に合う。

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