指数関数と対数関数の問題

$a={\log }_{2}x,b={\log }_{2}y$ とおく。$x>1,y>1$ より $a>0,b>0$ である。

条件の書きかえ

$x^{{\log }_{2}y}=64$ の両辺の 2 を底とする対数をとると
$${\log }_{2}y\cdot {\log }_{2}x={\log }_{2}64\text{すなわち}ab=6(1)$$
$xy\leqq 128$ の両辺の 2 を底とする対数をとると（底 $2>1$ なので不等号の向きは変わらない）
$$a+b\leqq 7(2)$$

求める式の書きかえ

$xy>1$ より $xy\ne 1$ であり、底として適する。底の変換公式より
$${\log }_{xy}(x^2{y}^3)=\frac{{\log }_2(x^2{y}^3)}{{\log }_2(xy)}=\frac{2a+3b}{a+b}=2+\frac{b}{a+b}.$$

$b$ の範囲

$(1)$ より $a=\frac{6}{b}$。これを $(2)$ に代入すると $\frac{6}{b}+b\leqq 7$。両辺に $b>0$ を掛けて
$$b^2-7b+6\leqq 0⟺(b-1)(b-6)\leqq 0⟺1\leqq b\leqq 6.$$
逆に $1\leqq b\leqq 6$ を満たす任意の $b$ に対し、$a=\frac{6}{b}>0$ とすれば $(1),(2)$ が成り立ち、$x=2^a,y=2^b$ はすべての条件を満たす。よって $b$ のとりうる値の範囲は $1\leqq b\leqq 6$ である。

値域を求める

$a=\frac{6}{b}$ を代入すると
$$\frac{b}{a+b}=\frac{b}{\frac{6}{b}+b}=\frac{b^2}{b^2+6}=1-\frac{6}{b^2+6}.$$
したがって
$${\log }_{xy}(x^2{y}^3)=3-\frac{6}{b^2+6}.$$
これは $b>0$ の範囲で $b$ について単調に増加し、連続である。

• $b=1$（$a=6$, すなわち $x=64,y=2$）のとき：$3-\frac{6}{7}=\frac{15}{7}$
• $b=6$（$a=1$, すなわち $x=2,y=64$）のとき：$3-\frac{6}{42}=3-\frac{1}{7}=\frac{20}{7}$

よって、求める範囲は
$$\frac{15}{7}\leqq {\log }_{xy}(x^2{y}^3)\leqq \frac{20}{7}.$$

$a={\log }_{2}x>0,b={\log }_{2}y>0$ とおく。$x^{{\log }_{2}y}=64$ の両辺の ${\log }_2$ をとると $ab=6$。$xy\leqq 128$ より $a+b\leqq 7$。

$b=6/a$ を代入すると $a+6/a\leqq 7$、すなわち $a^2-7a+6\leqq 0$ より $1\leqq a\leqq 6$。このとき $b=6/a>0$ で、$x>1,y>1$ も満たす。

求める値は
$${\log }_{xy}(x^2{y}^3)=\frac{2a+3b}{a+b}=2+\frac{b}{a+b}.$$
$b=6/a$ を代入すると
$$\frac{b}{a+b}=\frac{6/a}{a+6/a}=\frac{6}{a^2+6}.$$
よって値は $2+\frac{6}{a^2+6}$。

これは $a>0$ で単調減少である。
- $a=1$ のとき $2+\frac{6}{7}=\frac{20}{7}$
- $a=6$ のとき $2+\frac{6}{42}=\frac{15}{7}$

検算：$(a,b)=(1,6)$ では $\frac{2+18}{7}=\frac{20}{7}$、$(a,b)=(6,1)$ では $\frac{12+3}{7}=\frac{15}{7}$ となり、上の値と一致する。

$a$ は $1\leqq a\leqq 6$ の範囲を連続的に動くので、範囲は $\frac{15}{7}\leqq {\log }_{xy}(x^2{y}^3)\leqq \frac{20}{7}$。