指数関数と対数関数の問題

有理数の指数をもつ累乗は、底をそろえて指数法則を使うと計算できます。ここでは底を $2$ にそろえます。

手順1：底を $2$ にそろえる

$16=2^4$、$8=2^3$ なので、指数法則 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ を使うと
$$16^{\frac{3}{4}}={\left(2^4\right)}^{\frac{3}{4}}=2^{4\times \frac{3}{4}}=2^3$$
$$8^{-\frac{2}{3}}={\left(2^3\right)}^{-\frac{2}{3}}=2^{3\times \left(-\frac{2}{3}\right)}=2^{-2}$$
となります。

手順2：指数法則で指数をまとめる

$a^m\times a^n=a^{m+n}$、$a^m÷a^n=a^{m-n}$ を使うと
$$16^{\frac{3}{4}}\times 8^{-\frac{2}{3}}÷2^{-1}=2^3\times 2^{-2}÷2^{-1}=2^{3+(-2)-(-1)}=2^2$$
となります。

手順3：値を求める

$$2^2=4$$

（確認：$16^{\frac{3}{4}}={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3=2^3=8$、$8^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2}=\frac{1}{4}$、$2^{-1}=\frac{1}{2}$ なので、$8\times \frac{1}{4}÷\frac{1}{2}=4$ となり一致します。）

よって、求める値は $4$ です。

$16^{3/4}=(2^4{)}^{3/4}=2^3=8$、$8^{-2/3}=(2^3{)}^{-2/3}=2^{-2}=\frac{1}{4}$、$2^{-1}=\frac{1}{2}$。したがって $8\times \frac{1}{4}÷\frac{1}{2}=2÷\frac{1}{2}=4$。別解として指数でまとめると $2^3\times 2^{-2}÷2^{-1}=2^{3-2+1}=2^2=4$。検算も一致する。