原子の問題

ある放射性の原子核 X は、半減期 $8.0$ 日で崩壊して安定な原子核 Y に変わる。Y はそれ以上崩壊しない。時刻 $0$ において、試料には X だけが含まれていて Y は含まれていなかった。試料から X や Y が出入りすることはないものとする。

試料中の Y の原子核の数が、X の原子核の数のちょうど $15$ 倍になるのは、時刻 $0$ から何日後か。

放射性の原子核 A と B がある。A の半減期は $2.0$ 時間、B の半減期は $3.0$ 時間である。ある試料には、時刻 $0$ において A と B がちょうど $16:3$ の個数の比で含まれている。A, B が崩壊してできる原子核はどれも A でも B でもなく、試料に A, B が新たに加わったり、試料から出て行ったりすることはない。

ある原子核について、単位時間あたりに崩壊する原子核の数は、その時点で残っている原子核の数に比例し、その原子核の半減期に反比例する（比例定数は A と B で共通）ものとする。

A の単位時間あたりに崩壊する数と、B の単位時間あたりに崩壊する数が等しくなるのは、時刻 $0$ から何時間後か。

放射性の原子核であるヨウ素 ${}_{53}^{131}\mathrm{I}$ の半減期は $8$ 日である。ある試料に含まれるヨウ素 ${}_{53}^{131}\mathrm{I}$ の原子核の数が、はじめの数の $\frac{1}{16}$ になるのは、はじめから何日後か。

ある放射性原子核を含む試料がある。この原子核の数を調べたところ、$45$ 分後には崩壊せずに残っている原子核の数が、はじめの数の $\frac{1}{8}$ になっていた。この原子核の半減期は何分か。ただし、試料に外からこの原子核が加わったり、試料から出ていったりすることはないものとする。

ある放射性原子核の半減期は $8$ 日である。はじめにこの原子核が $N_0$ 個あったとき、$24$ 日後に崩壊せずに残っている原子核の数は、はじめの数 $N_0$ の何倍か。分数で答えよ。