原子の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理原子

放射性の原子核 A と B がある。A の半減期は $2.0$ 時間、B の半減期は $3.0$ 時間である。ある試料には、時刻 $0$ において A と B がちょうど $16 : 3$ の個数の比で含まれている。A, B が崩壊してできる原子核はどれも A でも B でもなく、試料に A, B が新たに加わったり、試料から出て行ったりすることはない。

ある原子核について、単位時間あたりに崩壊する原子核の数は、その時点で残っている原子核の数に比例し、その原子核の半減期に反比例する（比例定数は A と B で共通）ものとする。

A の単位時間あたりに崩壊する数と、B の単位時間あたりに崩壊する数が等しくなるのは、時刻 $0$ から何時間後か。

この問題で使うもの

半減期（説明と入口の問題）
指数方程式・指数不等式の基本（説明と入口の問題）
指数の拡張と指数関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（25 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

A, B の残っている数を時刻 $t$ の式で表し、「崩壊数 ∝ 残っている数 ÷ 半減期」を使って等しくなる条件の式を立てよう。

ヒント 2

$N_{A} (t) = 16 N (\frac{1}{2})^{t /2}$ , $N_{B} (t) = 3 N (\frac{1}{2})^{t /3}$ とすると、条件は $\frac{N _{A} ( t )}{2} = \frac{N _{B} ( t )}{3}$ である。

ヒント 3

条件を整理すると $8 (\frac{1}{2})^{t /2} = (\frac{1}{2})^{t /3}$ になる。両辺を 2 の累乗で表して指数を比べる。

答えと解説

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解説を読む

時刻 $0$ の A, B の数を $N_{A} = 16 N$ , $N_{B} = 3 N$ （ $N > 0$ ）とおく。半減期の式より、時刻 $t$ （時間）に残っている数は
$N_{A} (t) = 16 N (\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}}, N_{B} (t) = 3 N (\frac{1}{2})^{\frac{t}{3}}$
である。

単位時間あたりに崩壊する数は（残っている数） $\div$ （半減期）に比例し、比例定数は共通なので、その比例定数を $k$ とすると
$A : k \cdot \frac{N _{A} ( t )}{2.0}, B : k \cdot \frac{N _{B} ( t )}{3.0}$
これらが等しくなる条件は
$\frac{16 N}{2} (\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}} = \frac{3 N}{3} (\frac{1}{2})^{\frac{t}{3}}$
すなわち
$8 (\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{3}}$
$8 = 2^{3}$ 、 $(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ を用いて書き直すと
$2^{3 - \frac{t}{2}} = 2^{- \frac{t}{3}}$
指数を比べて
$3 - \frac{t}{2} = - \frac{t}{3} ⟹ 3 = \frac{t}{2} - \frac{t}{3} = \frac{t}{6} ⟹ t = 18$
よって $18$ 時間後である。

（確認： $t = 18$ のとき A の数は $16 N \times 2^{- 9} = \frac{N}{32}$ 、B の数は $3 N \times 2^{- 6} = \frac{3 N}{64}$ で、崩壊数はそれぞれ $\frac{N}{64} k$ , $\frac{N}{64} k$ となり等しい。）

別解

時刻 $0$ の個数を $N_{A} (0) = 16 N$ , $N_{B} (0) = 3 N$ とする。時刻 $t$ （時間）で $N_{A} = 16 N (\frac{1}{2})^{t /2.0}$ , $N_{B} = 3 N (\frac{1}{2})^{t /3.0}$ 。
単位時間あたりの崩壊数は、残っている個数÷半減期に比例（比例定数は共通）するので、等しくなる条件は $\frac{N _{A}}{2.0} = \frac{N _{B}}{3.0}$ 、すなわち $\frac{N _{A}}{N _{B}} = \frac{2}{3}$ 。
$\frac{N _{A}}{N _{B}} = \frac{16}{3} \cdot 2^{- t /2 + t /3} = \frac{16}{3} \cdot 2^{- t /6}$ より $\frac{16}{3} \cdot 2^{- t /6} = \frac{2}{3}$ 、 $2^{- t /6} = \frac{1}{8} = 2^{- 3}$ 、 $t = 18$ 時間。
検算: $t = 18$ で $N_{A} = 16 N \cdot 2^{- 9} = N /32$ 、 $N_{B} = 3 N \cdot 2^{- 6} = 3 N /64$ 。 $N_{A} /2.0 = N /64$ 、 $N_{B} /3.0 = N /64$ で等しい。

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