原子の問題

ある試料に、2 種類の放射性原子核 A と B が含まれている。A の半減期は $2.0$ 日、B の半減期は $6.0$ 日である。A と B はそれぞれ独立に崩壊し、崩壊してできる原子核は A でも B でもない。また、試料に外から A や B が加わることはない。時刻 $0$ において A と B の原子核の数は等しかった。B の原子核の数が A の原子核の数の $4$ 倍になるのは、時刻 $0$ から何日後か。

放射性の原子核 A と B がある。A の半減期は $2.0$ 時間、B の半減期は $3.0$ 時間である。ある試料には、時刻 $0$ において A と B がちょうど $16:3$ の個数の比で含まれている。A, B が崩壊してできる原子核はどれも A でも B でもなく、試料に A, B が新たに加わったり、試料から出て行ったりすることはない。

ある原子核について、単位時間あたりに崩壊する原子核の数は、その時点で残っている原子核の数に比例し、その原子核の半減期に反比例する（比例定数は A と B で共通）ものとする。

A の単位時間あたりに崩壊する数と、B の単位時間あたりに崩壊する数が等しくなるのは、時刻 $0$ から何時間後か。

放射性の原子核であるヨウ素 ${}_{53}^{131}\mathrm{I}$ の半減期は $8$ 日である。ある試料に含まれるヨウ素 ${}_{53}^{131}\mathrm{I}$ の原子核の数が、はじめの数の $\frac{1}{16}$ になるのは、はじめから何日後か。

ある放射性原子核を含む試料がある。この原子核の数を調べたところ、$45$ 分後には崩壊せずに残っている原子核の数が、はじめの数の $\frac{1}{8}$ になっていた。この原子核の半減期は何分か。ただし、試料に外からこの原子核が加わったり、試料から出ていったりすることはないものとする。

大気中の二酸化炭素には放射性の炭素 ${}_6^{14}\mathrm{C}$ がわずかに含まれ、生きている植物は光合成によってこれを取り込み続けるので、植物体の炭素 $1\text{g}$ あたりに含まれる ${}_6^{14}\mathrm{C}$ の数は、大気と同じ一定の値に保たれている。植物が枯れると ${}_6^{14}\mathrm{C}$ の取り込みが止まり、その後は ${}_6^{14}\mathrm{C}$ が半減期 $5.7\times 10^3$ 年で崩壊して減っていく。

現在生きている植物の炭素 $1.0\text{g}$ では、${}_6^{14}\mathrm{C}$ の崩壊が 1 分間に $16$ 回起こる。ある遺跡から出土した木片の炭素 $5.0\text{g}$ を調べたところ、${}_6^{14}\mathrm{C}$ の崩壊は 1 分間に $10$ 回起こっていた。この木が枯れたのは今から何年前か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、大気中の ${}_6^{14}\mathrm{C}$ の割合は昔から現在まで一定であり、単位時間あたりの崩壊の回数は、そのときに含まれている ${}_6^{14}\mathrm{C}$ の数に比例するものとする。