原子の問題

ある放射性原子核の半減期は $8$ 日である。はじめにこの原子核が $N_0$ 個あったとき、$24$ 日後に崩壊せずに残っている原子核の数は、はじめの数 $N_0$ の何倍か。分数で答えよ。

ある放射性原子核を含む試料がある。この原子核の数を調べたところ、$45$ 分後には崩壊せずに残っている原子核の数が、はじめの数の $\frac{1}{8}$ になっていた。この原子核の半減期は何分か。ただし、試料に外からこの原子核が加わったり、試料から出ていったりすることはないものとする。

ある試料に、2 種類の放射性原子核 A と B が含まれている。A の半減期は $2.0$ 日、B の半減期は $6.0$ 日である。A と B はそれぞれ独立に崩壊し、崩壊してできる原子核は A でも B でもない。また、試料に外から A や B が加わることはない。時刻 $0$ において A と B の原子核の数は等しかった。B の原子核の数が A の原子核の数の $4$ 倍になるのは、時刻 $0$ から何日後か。

ある放射性の原子核 X は、半減期 $8.0$ 日で崩壊して安定な原子核 Y に変わる。Y はそれ以上崩壊しない。時刻 $0$ において、試料には X だけが含まれていて Y は含まれていなかった。試料から X や Y が出入りすることはないものとする。

試料中の Y の原子核の数が、X の原子核の数のちょうど $15$ 倍になるのは、時刻 $0$ から何日後か。

ウランの原子核 ${}_{92}^{238}\mathrm{U}$ が、$\alpha$ 崩壊を $1$ 回、続けて $\beta$ 崩壊（${\beta }^{-}$ 崩壊）を $2$ 回起こした。崩壊後の原子核に含まれる中性子の数を求めよ。