親核種と娘核種の比による年代測定

放射性同位体（親核種）の残っている割合 $(\frac{1}{2})^{t / T}$ や、娘核種と親核種の個数の比（例: 娘/親 $= 3$ なら 2 半減期）から、半減期の整数倍となる岩石の年代を求められる

前提

半減期（高校物理原子）

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算数中学高校大学大学院

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半減期（高校物理原子）

説明

岩石や鉱物に含まれる放射性同位体（親核種）は、一定の半減期で別の原子核（娘核種）に変わっていきます。この技能では、親核種がもとの何分の 1 残っているか、または娘核種と親核種の個数の比がいくらかという測定結果から、その岩石ができてから何半減期たったかを読み取り、岩石の年代（放射年代）を求めます。地層や化石の年代を数値で決めるときに使う考え方です。

なぜそうしてよいのか

岩石ができたとき（鉱物が固まったとき）に親核種が $N_{0}$ 個あり、娘核種は含まれていなかったとします。さらに、その後は親核種も娘核種も岩石から出入りしなかった（閉じた系だった）とします。半減期を $T$ とすると、時間 $t$ のあとに残る親核種は $N = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T}$ 個です。

1 個の親核種が崩壊すると 1 個の娘核種になるので、減った親核種の数がそのまま娘核種の数になります。つまり娘核種は $N_{0} - N$ 個で、「親 + 娘 $= N_{0}$ 」が常に成り立ちます。ここから、親の残る割合を $r = \frac{N}{N _{0}}$ とすると $\frac{娘}{親} = \frac{N _{0} - N}{N} = \frac{1}{r} - 1$ となります。たとえば 1 半減期後は $r = \frac{1}{2}$ で娘/親 $= 1$ 、2 半減期後は $r = \frac{1}{4}$ で娘/親 $= 3$ 、3 半減期後は $r = \frac{1}{8}$ で娘/親 $= 7$ です。一般に $n$ 半減期後は娘/親 $= 2^{n} - 1$ です。

したがって、娘/親の比が分かれば $\frac{親}{親 + 娘} = r$ を求め、 $r = (\frac{1}{2})^{n}$ となる $n$ （半減期の何倍か）を読み取り、年代は $t = n T$ と求まります。

手順

前提を確認する: 岩石ができたとき娘核種はなく、その後は親核種・娘核種の出入りがない（娘核種はすべて親核種の崩壊でできた）
娘/親の比が与えられたら、親の残る割合を $r = \frac{親}{親 + 娘}$ で求める（残る割合が直接与えられたらそのまま使う）
$r = (\frac{1}{2})^{n}$ となる $n$ を求める（ $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ がそれぞれ $n = 1, 2, 3, 4$ ）
年代を $t = n T$ （ $T$ は親核種の半減期）で求め、問題の単位で答える

例題

ある火成岩に含まれる鉱物で、放射性同位体 X（親核種）と、X の崩壊でできる Y（娘核種）の個数を測ったところ、Y の個数は X の個数の 7 倍であった。X の半減期は 7.0 億年である。この鉱物ができたときには Y は含まれておらず、その後 X と Y の出入りはなかったものとする。この鉱物ができたのは何億年前か。整数で答えよ。

例題の解答

手順 1: 鉱物ができたとき Y はなく、X・Y の出入りもないので、Y はすべて X の崩壊でできた。よって X と Y の個数の和が、はじめの X の個数 $N_{0}$ に等しい。

手順 2: X の個数を 1 とすると Y は 7 なので、X の残る割合は $r = \frac{1}{1 + 7} = \frac{1}{8}$

手順 3: $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$ なので $n = 3$ 、つまり 3 半減期たっている。

手順 4: $t = 3 \times 7.0 = 21$ 億年。よって 21 億年前。

答え: $21$

よくある誤り

娘/親の比をそのまま親の残る割合の逆数と考えてしまう誤り。娘/親 $= 7$ から $r = \frac{1}{7}$ とするのは誤りで、正しくは $r = \frac{1}{1 + 7} = \frac{1}{8}$ （はじめの親の数は「親 + 娘」）
娘/親の比を半減期の回数と取り違える誤り。娘/親 $= 3$ を 3 半減期とするのは誤りで、正しくは $r = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}$ より 2 半減期
残る割合が $\frac{1}{8}$ のとき、半減期を 8 倍したり $\frac{1}{8}$ を掛けたりしてしまう誤り。正しくは $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$ だから $t = 3 T$
娘/親の比で、親を分子に置いてしまう誤り。「親は娘の $\frac{1}{3}$ 」なら娘/親 $= 3$ で 2 半減期であり、親/娘 $= 3$ と読み違えて $r = \frac{3}{4}$ としない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある火成岩に含まれる鉱物を調べたところ、放射性同位体のウラン 235（親核種）と、それが崩壊してできた鉛 207（娘核種）が含まれており、その個数の比は
$鉛 207 : ウラン 235 = 7 : 1$
であった。ウラン 235 の半減期を 7.0 億年とする。また、この鉱物ができたときには鉛 207 は含まれておらず、その後に鉛 207 はすべてウラン 235 の崩壊によってでき、鉱物から出入りしなかったものとする。
この火成岩ができたのは何億年前か。整数で答えよ。

この技能の次に学べること

対数を使った放射年代の計算（高校地学地層と地球の歴史）