対数を使った放射年代の計算

残っている割合が $\frac{1}{2}$ のべきにならないとき、 $lo g_{10} 2 = 0.30$ などの値を使って $t = T lo g_{1/2} (残っている割合)$ から年代を求められる

前提

親核種と娘核種の比による年代測定（高校地学地層と地球の歴史）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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親核種と娘核種の比による年代測定（高校地学地層と地球の歴史）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

説明

放射性同位体の残っている割合が $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{8}$ のようなきりのよい値なら、半減期の何倍たったかがすぐ読み取れます。しかし実際の測定では、残っている割合が $0.60$ や $0.20$ のように $\frac{1}{2}$ のべきにならないことがほとんどです。この技能では、対数を使って半減期の「何倍」が整数でない場合も含めて経過時間を求め、岩石や化石・遺物の年代を計算します。

なぜそうしてよいのか

はじめの親核種の数を $N_{0}$ 、時間 $t$ 後に残る数を $N$ 、半減期を $T$ とすると $\frac{N}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{t / T}$ です。残っている割合を $r = \frac{N}{N _{0}}$ とおくと、 $\frac{t}{T}$ は「 $\frac{1}{2}$ を何乗すると $r$ になるか」を表す数です。これは対数の定義そのもので、 $\frac{t}{T} = lo g_{1/2} r$ 、つまり $t = T lo g_{1/2} r$ です。 $r = \frac{1}{8}$ なら $lo g_{1/2} \frac{1}{8} = 3$ となり、前に学んだ「3 半減期」と一致します。

実際に計算するときは、与えられた常用対数（底が 10 の対数）の値が使えるように底の変換をします。 $lo g_{1/2} r = \frac{lo g _{10} r}{lo g _{10} \frac{1}{2}} = \frac{lo g _{10} r}{- lo g _{10} 2}$ $0 < r < 1$ では $lo g_{10} r < 0$ なので、分子も分母も負になり、 $t$ は正の値になります。

$lo g_{10} r$ は、 $r$ を分数や積に直して対数の性質で求めます。たとえば $lo g_{10} 0.6 = lo g_{10} \frac{2 \times 3}{10} = lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 - 1$ です。

手順

親核種の残っている割合 $r = \frac{N}{N _{0}}$ を求める（娘/親の比が与えられたら $r = \frac{親}{親 + 娘}$ ）
年代の式を立てる: $(\frac{1}{2})^{t / T} = r$ より $t = T lo g_{1/2} r$
底を 10 に変換する: $t = T \times \frac{lo g _{10} r}{- lo g _{10} 2}$
$lo g_{10} r$ を、与えられた $lo g_{10} 2$ 、 $lo g_{10} 3$ などの値と対数の性質で計算する
数値を代入して $t$ を求め、問題の指示どおりに丸める

例題

ある遺跡から出土した木炭に含まれる炭素 14 の割合を調べたところ、生きている植物に含まれる割合の $0.60$ 倍であった。炭素 14 の半減期を 5700 年とし、木が枯れてからは炭素 14 は減る一方であったとする。この木が枯れたのは何年前か。 $lo g_{10} 2 = 0.30$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.48$ として、有効数字 2 桁で答えよ。

例題の解答

手順 1: 残っている割合は $r = 0.60$ 。

手順 2: $(\frac{1}{2})^{t /5700} = 0.60$ より $t = 5700 lo g_{1/2} 0.60$ 。

手順 3: 底を 10 に変換して $t = 5700 \times \frac{lo g _{10} 0.60}{- lo g _{10} 2}$

手順 4: $lo g_{10} 0.60 = lo g_{10} \frac{2 \times 3}{10} = 0.30 + 0.48 - 1 = - 0.22$ 。

手順 5: $t = 5700 \times \frac{- 0.22}{- 0.30} = 5700 \times \frac{22}{30} = 4180$ 有効数字 2 桁で $4.2 \times 1 0^{3}$ 年前。

答え: $4.2 \times 1 0^{3}$

よくある誤り

底の変換で $lo g_{10} \frac{1}{2}$ を $+ lo g_{10} 2$ としてしまい、年代が負になる誤り。 $5700 \times \frac{- 0.22}{0.30}$ とするのは誤りで、正しくは $lo g_{10} \frac{1}{2} = - lo g_{10} 2 = - 0.30$ なので $5700 \times \frac{- 0.22}{- 0.30}$
$lo g_{10} 0.60$ を $lo g_{10} 6$ と同じにしてしまう誤り。 $0.30 + 0.48 = 0.78$ とするのは誤りで、正しくは $0.60 = \frac{6}{10}$ だから $lo g_{10} 0.60 = 0.78 - 1 = - 0.22$
残っている割合ではなく、崩壊して減った割合を使ってしまう誤り。 $0.60$ 倍残っているとき $r = 0.40$ とするのは誤りで、正しくは $r = 0.60$
割合を半減期で割って比例計算してしまう誤り。「0.60 は $\frac{1}{2}$ より大きいから $\frac{1 - 0.60}{1 - 0.5} \times 5700$ 」のように直線的に考えるのは誤りで、減り方は指数関数なので必ず $t = T lo g_{1/2} r$ を使う

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある地層から見つかった木片に含まれる炭素 14 の割合を調べたところ、生きている木に含まれる割合の $\frac{1}{10}$ であった。炭素 14 の半減期を 5700 年とし、木が枯れたときの炭素 14 の割合は現在の生きている木と同じで、その後は炭素 14 が半減期にしたがって減っただけであるとする。
この木が枯れたのは何年前か。 $lo g_{10} 2 = 0.30$ として計算し、整数で答えよ。

この技能を使う問題

鉱物	$\frac{P の個数}{S の個数}$	$\frac{D の個数}{S の個数}$
A	$0.50$	$0.80$
B	$2.00$	$1.70$

この技能の次に学べること

放射性炭素年代測定（高校地学地層と地球の歴史）
初めから含まれる娘核種の補正とアイソクロン（高校地学地層と地球の歴史）