地層と地球の歴史の問題

遺跡から出土した骨の試料について、炭素 1 g あたりの ${}^{14}\mathrm{C}$ の壊変数（1 分間に壊変する原子核の数）を測定したところ、1 分間に 3.4 回であった。一方、現在生きている生物では、炭素 1 g あたりの ${}^{14}\mathrm{C}$ の壊変数は 1 分間に 13.6 回である。

${}^{14}\mathrm{C}$ の半減期を 5700 年とする。また、生物が生きている間は炭素 1 g あたりの ${}^{14}\mathrm{C}$ の量は現在の生物と同じで、死んだ後は ${}^{14}\mathrm{C}$ が壊変によって減るだけであり、壊変数は ${}^{14}\mathrm{C}$ の原子核の数に比例するものとする。

この骨の生物が死んでから何年たっているか。整数で答えよ。

ある地層から見つかった木片に含まれる炭素 14 の割合を調べたところ、生きている木に含まれる割合の $\frac{1}{10}$ であった。炭素 14 の半減期を 5700 年とし、木が枯れたときの炭素 14 の割合は現在の生きている木と同じで、その後は炭素 14 が半減期にしたがって減っただけであるとする。

この木が枯れたのは何年前か。${\log }_{10}2=0.30$ として計算し、整数で答えよ。

ある火成岩から、2 種類の鉱物 A, B を取り出した。これらの鉱物には、次の 3 種類の同位体が含まれている。

• 放射性同位体 P（半減期 $1.5\times 10^9$ 年）
• P が壊変してできる安定な同位体 D（P 1 個が壊変すると D が 1 個できる）
• D と同じ元素の安定な同位体 S（壊変によってつくられることも、壊変することもない）

鉱物 A, B は同じマグマから同時に結晶した。D と S は同じ元素の同位体で化学的な性質が同じなので、結晶したときの D と S の個数比は鉱物 A と B で等しかった。ただし、その比の値はわかっていない。一方、P は D, S と別の元素なので、P と S の個数比は鉱物 A と B で異なっていた。結晶してから現在まで、どちらの鉱物でも P, D, S の出入りはなかったものとする。

現在の鉱物 A, B に含まれる各同位体の個数比を測定したところ、次の表のようになった。

この火成岩ができた（鉱物 A, B が結晶した）のは現在から何億年前か。整数で答えよ。必要ならば ${\log }_{10}2=0.30$ を用いよ。

ある火成岩に含まれる鉱物 M には、放射性同位体 P と、P が壊変してできる安定な同位体 D が含まれている。P の半減期は $7.0\times 10^8$ 年であり、P は壊変すると 1 個につき D を 1 個つくる。

鉱物 M はマグマが冷えて結晶になったときに P と D の両方を取り込んでおり、結晶になった時点での D の原子数は P の原子数の $0.50$ 倍であったことが、別の方法からわかっている。結晶になったあと、鉱物 M に P や D が出入りすることはなかったとする。

現在、この鉱物 M に含まれる D の原子数を測定したところ、P の原子数の $3.5$ 倍であった。この火成岩ができた（鉱物 M が結晶になった）のは何年前か。${\log }_{10}2=0.30$, ${\log }_{10}3=0.48$ を用い、有効数字 2 桁で求めよ。

地球が誕生した $46$ 億年前から現在までの地球の歴史を、$1$ 月 $1$ 日午前 $0$ 時から $12$ 月 $31$ 日午後 $12$ 時（年の終わり）までの $1$ 年（$365$ 日）に縮めて表す。時間の長さは実際の長さに比例させて縮めるものとし、現在を年の終わりの瞬間とする。

現生人類（ホモ・サピエンス）が出現したのは、いまから約 $30$ 万年前であるとする。この $1$ 年のカレンダーで、現生人類が出現するのは年の終わりの何分前か。小数第 $1$ 位を四捨五入して整数で答えよ。