放射性炭素年代測定

試料と現在の生物の炭素 1 g あたりの $^{14} C$ の壊変数（放射能）の比から、生物が死んでからの年数を求められる

前提

対数を使った放射年代の計算（高校地学地層と地球の歴史）

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算数中学高校大学大学院

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対数を使った放射年代の計算（高校地学地層と地球の歴史）

説明

炭素の放射性同位体 $^{14} C$ は、生物が生きている間は大気や食物とのやりとりで体内の割合がほぼ一定に保たれますが、死ぬと補給が止まり、半減期にしたがって減っていきます。この技能では、試料（木片・骨・貝殻など）と現在の生物について、炭素 1 g あたり 1 分間に $^{14} C$ が壊変する数（放射能）を比べ、その比から生物が死んでから何年たったかを求めます。数万年前ぐらいまでの考古学の遺物や、新しい地層に含まれる化石の年代を決めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

大気中では、宇宙線のはたらきで $^{14} C$ がたえずつくられ、壊変で減る分とつり合って、炭素全体に対する $^{14} C$ の割合がほぼ一定になっています。生きている生物は光合成や食物を通して炭素を取り込み続けるので、体内の割合も大気と同じに保たれます。ここでは、この割合が昔も今と同じだったと仮定します。生物が死ぬと炭素の出入りが止まり、そのときの $^{14} C$ が $N = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T}$ にしたがって減っていきます。

$^{14} C$ の個数を直接数えるのは難しいので、1 分間に壊変する数（放射能）を測ります。一定時間に壊変する数は、そこにある $^{14} C$ の個数に比例します（個数が 2 倍なら壊変も 2 倍起こる）。したがって、炭素 1 g あたりの放射能の比は、炭素 1 g あたりの $^{14} C$ の個数の比、つまり死んだときから残っている割合 $r$ に等しくなります。 $r = \frac{試料の炭素 1 g あたりの放射能}{現在の生物の炭素 1 g あたりの放射能}$

あとは前に学んだとおり $t = T lo g_{1/2} r = T \times \frac{lo g _{10} r}{- lo g _{10} 2}$ で年数が求まります。「炭素 1 g あたり」でそろえて比べるのは、試料の量が違っても比較できるようにするためです。

手順

試料と現在の生物の、炭素 1 g あたりの放射能を確認する（試料全体の値なら、炭素の質量で割って 1 g あたりにそろえる）
残っている割合を求める: $r = \frac{試料の値}{現在の生物の値}$
$t = T lo g_{1/2} r = T \times \frac{lo g _{10} r}{- lo g _{10} 2}$ に $^{14} C$ の半減期 $T$ を入れる
$lo g_{10} r$ を与えられた対数の値で計算し、 $t$ を求めて指示どおり丸める

例題

ある遺跡から出土した木片の炭素 1 g あたりの $^{14} C$ の放射能を測ったところ、1 分間に 4.8 回の壊変が観測された。現在生きている植物では、炭素 1 g あたり 1 分間に 16 回である。 $^{14} C$ の半減期を 5700 年とし、大気中の炭素に含まれる $^{14} C$ の割合は昔も現在と同じであったとする。この木が枯れたのは何年前か。 $lo g_{10} 2 = 0.30$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.48$ として、有効数字 2 桁で答えよ。

例題の解答

手順 1: どちらも炭素 1 g あたりの 1 分間の壊変数なので、そのまま比べられる。

手順 2: $r = \frac{4.8}{16} = 0.30$

手順 3: $t = 5700 \times \frac{lo g _{10} 0.30}{- lo g _{10} 2}$

手順 4: $lo g_{10} 0.30 = lo g_{10} \frac{3}{10} = 0.48 - 1 = - 0.52$ なので $t = 5700 \times \frac{- 0.52}{- 0.30} = 5700 \times \frac{52}{30} = 9880$ 有効数字 2 桁で $9.9 \times 1 0^{3}$ 年前。

答え: $9.9 \times 1 0^{3}$

よくある誤り

放射能の差を使ってしまう誤り。 $16 - 4.8 = 11.2$ から何かを求めるのは誤りで、放射能は個数に比例するので、正しくは比 $r = \frac{4.8}{16} = 0.30$ を使う
比を逆にしてしまう誤り。 $r = \frac{16}{4.8}$ とすると $r > 1$ で $lo g_{10} r > 0$ となり年代が負になる。残っている割合なので、正しくは試料の値を分子にして $r = \frac{4.8}{16}$
試料全体の放射能を、炭素 1 g あたりにそろえずに比べてしまう誤り。炭素 5 g の試料全体で 1 分間に 24 回なら、そのまま $\frac{24}{16}$ とせず、正しくは $\frac{24}{5} = 4.8$ 回にしてから $\frac{4.8}{16}$
$lo g_{10} 0.30$ を $lo g_{10} 3$ と同じにしてしまう誤り。 $0.48$ とするのは誤りで、正しくは $0.30 = \frac{3}{10}$ だから $lo g_{10} 0.30 = 0.48 - 1 = - 0.52$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
遺跡から出土した骨の試料について、炭素 1 g あたりの $^{14} C$ の壊変数（1 分間に壊変する原子核の数）を測定したところ、1 分間に 3.4 回であった。一方、現在生きている生物では、炭素 1 g あたりの $^{14} C$ の壊変数は 1 分間に 13.6 回である。
$^{14} C$ の半減期を 5700 年とする。また、生物が生きている間は炭素 1 g あたりの $^{14} C$ の量は現在の生物と同じで、死んだ後は $^{14} C$ が壊変によって減るだけであり、壊変数は $^{14} C$ の原子核の数に比例するものとする。
この骨の生物が死んでから何年たっているか。整数で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
ある遺跡の地層から木炭が見つかった。木炭に含まれる炭素 $1 g$ あたりの $^{14} C$ の壊変数を測定すると、 $1$ 分間に $3.0$ 回であった。一方、現在生きている植物の炭素 $1 g$ あたりの $^{14} C$ の壊変数は、 $1$ 分間に $15.0$ 回である。
$^{14} C$ の半減期を $5.7 \times 1 0^{3}$ 年とし、次のことを仮定する。
- 木炭のもとになった木が生きていた当時の、炭素 $1 g$ あたりの $^{14} C$ の量は、現在生きている植物と同じである。
- 木が枯れたあとは、外部との炭素の出入りはない。
- $1$ 分間あたりの壊変数は、そのとき含まれている $^{14} C$ の原子の数に比例する。
この木が枯れたのは今から何年前か。 $lo g_{10} 2 = 0.30$ を用いて、有効数字 $2$ 桁で求めよ。