地層と地球の歴史の問題

遺跡から出土した骨の試料について、炭素 1 g あたりの ${}^{14}\mathrm{C}$ の壊変数（1 分間に壊変する原子核の数）を測定したところ、1 分間に 3.4 回であった。一方、現在生きている生物では、炭素 1 g あたりの ${}^{14}\mathrm{C}$ の壊変数は 1 分間に 13.6 回である。

${}^{14}\mathrm{C}$ の半減期を 5700 年とする。また、生物が生きている間は炭素 1 g あたりの ${}^{14}\mathrm{C}$ の量は現在の生物と同じで、死んだ後は ${}^{14}\mathrm{C}$ が壊変によって減るだけであり、壊変数は ${}^{14}\mathrm{C}$ の原子核の数に比例するものとする。

この骨の生物が死んでから何年たっているか。整数で答えよ。

ある火成岩に含まれる鉱物を調べたところ、放射性同位体のウラン 235（親核種）と、それが崩壊してできた鉛 207（娘核種）が含まれており、その個数の比は

$$\text{鉛 207}:\text{ウラン 235}=7:1$$

であった。ウラン 235 の半減期を 7.0 億年とする。また、この鉱物ができたときには鉛 207 は含まれておらず、その後に鉛 207 はすべてウラン 235 の崩壊によってでき、鉱物から出入りしなかったものとする。

この火成岩ができたのは何億年前か。整数で答えよ。

ある遺跡の地層から木炭が見つかった。木炭に含まれる炭素 $1\text{g}$ あたりの ${}^{14}\text{C}$ の壊変数を測定すると、$1$ 分間に $3.0$ 回であった。一方、現在生きている植物の炭素 $1\text{g}$ あたりの ${}^{14}\text{C}$ の壊変数は、$1$ 分間に $15.0$ 回である。

${}^{14}\text{C}$ の半減期を $5.7\times 10^3$ 年とし、次のことを仮定する。

• 木炭のもとになった木が生きていた当時の、炭素 $1\text{g}$ あたりの ${}^{14}\text{C}$ の量は、現在生きている植物と同じである。
• 木が枯れたあとは、外部との炭素の出入りはない。
• $1$ 分間あたりの壊変数は、そのとき含まれている ${}^{14}\text{C}$ の原子の数に比例する。

この木が枯れたのは今から何年前か。${\log }_{10}2=0.30$ を用いて、有効数字 $2$ 桁で求めよ。

ある湖の底で、泥の地層を上から下へ掘り抜いた試料（コア）を採取した。いちばん上（湖底の表面）は現在たまっている泥である。調べたところ、次のことがわかった。

泥は一定の速さでたまり続けたものとし、火山灰層の厚さは無視できるものとする。

貝殻を多く含む層がたまったのは何年前か。整数で答えよ。

ある泥岩の層は、現在の厚さが 6.0 m で、空隙率（岩石全体の体積のうち、すき間が占める割合）は 20 % である。この層は、もとは空隙率 60 % の泥として海底にたまり、その後、上にたまった地層の重みで押し固められて（圧密されて）現在の厚さになった。

泥がたまったときの堆積速度は、圧密される前の厚さで 0.20 mm/年 で一定だったとする。圧密のときに固体粒子の体積は変わらず、層は上下方向にだけ縮み、水平方向の広がりは変わらなかったものとする。

この泥岩の層がたまるのにかかった時間は何年か。整数で答えよ。